Барицентрические координаты — страница 9

материальной точки Р («барицентр» означает «центр тяжести»): а — первая барицентрическая координата, b — вторая, с — третья. Понятно, что те же три числа a, b, c определяют также положение носителя материальной точки Р. Поэтому эти три числа называют также барицентрическими координатами (геометрической) точки Р. Таким образом, выражение «барицентрическими координатами точки Р служат числа a, b, c» означает только то, что имеет место

равенство (A, a) + (B, b) + (C, c) = (P, p), где p = a + b + c. Если массы трёх материальных точек увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится. Поэтому барицентрическими координатами геометрической точки Р будут также числа ka, kb, kc, где k — любое действительное число, не равное нулю. Итак, геометрическая точка Р (в отличие от материальной точки Р) имеет бесконечно много троек

барицентрических координат, причём каждая из этих троек может быть получена из какой-либо одной тройки (a, b, c) путём умножения на какую-либо константу k, отличную от нуля. Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными). Если точка Р — на какой-либо стороне координатного треугольника или на её продолжении, то хотя бы одна

барицентрическая координата этой точки равна нулю. В остальных случаях две координаты точки Р — одного знака, а третья имеет противоположный знак. Если точка Р расположена внутри базисного треугольника ABC, то в качестве её барицентрических координат можно принять площади треугольников BPC, CPA и APB. Применение барицентрических координат позволяет внести одно существенное упрощение в рассуждения, связанное с рассмотрением

материальных точек : рассмотрение любых произвольно расположенных материальных точек в любом числе сводится к рассмотрению только таких материальных точек, которые имеют носителями вершины базисного треугольника.