Барицентрические координаты — страница 8

противоположны по знаку, но не равны по абсолютной величине (то есть, если а = -b  0). В связи с этим мы будем называть две материальные точки вида (А, а) и (В, -а) (АВ, а0) механической парой. Этот случай можно себе представить как предельный для того случая, когда а-b, но а -b. Если а-b, а0, b0, то можно написать , т.е. . Если а  -b, то а + b  0 и, следовательно, АС  , то есть точка С неограниченно удаляется вдоль прямой АВ. Поэтому иногда

говорят, что если a = -b, то центр тяжести двух материальных точек (А, а) и (B, b) «лежит в бесконечно удалённой точке прямой АВ». Оставаясь здесь в рамках элементарной геометрии, мы будем эту фразу рассматривать как образное выражение того, что центра тяжести в данном случае нет. Если одна из двух материальных точек является незагруженной, а “масса” другой материальной точки отлична от нуля, то их центр тяжести совпадает с носителем

загруженной точки. В связи с этим имеет смысл все незагруженные точки считать равными, то есть считать, что при любых А и В ( А, 0)  (В, 0). Задача о нахождении центров тяжести двух незагруженных точек является неопределенной: существует бесконечно много точек, которые можно рассматривать в качестве центров тяжестей этих двух точек. Мы не будем останавливаться на рассмотрении этого случая. Идея барицентрических координат.

Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС (рис. 8), который в дальнейшем назовем координатным, или базисным треугольником Мебиуса. Пусть р0 и (Р, р)  произвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого треугольника. Тогда возможно подобрать для точек А, В, С такие массы а, b, с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных точек (А, а), (В, b) и (С, с) служила точка (Р, р). Это можно себе представить

следующим образом. Ясно, что не может быть одновременно РА ВС, РВ СА, РС АВ. Пусть, для определённости, РА и ВС не параллельны. Соединим Р с А и отметим точку А1, в которой АР встречает прямую ВС. Подберём три действительных числа а, b, c так, чтобы bBA1 = cA1C, aAP = (b + c)PA1, a + b + c = p. Это всегда возможно сделать. Тогда (P, p) = (A, a) + (B, b) + (C, c). Обратно, если возьмём три произвольных действительных числа a, b, c, причём a + b + c  0, то существует

вполне определённая материальная точка (Р, р) такая, что (Р, р) = (A, a) + (B, b) + (C, c). Таким образом, каждую материальную точку Р(Р, р) на плоскости можно вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массами a, b и с, которые надо поместить в вершинах базисного треугольника, чтобы точка Р оказалась объединением трёх образующихся при этом материальных точек (A, a), (B, b) и (C, c). Эти три числа называют барицентрическими координатами