Балансовые модели — страница 15

  • Просмотров 6329
  • Скачиваний 39
  • Размер файла 443
    Кб

положительном направлении вектора при был бы равен . Замечание. Если полином есть полином Гурвица степени , то вектор монотонно поворачивается в положительном направлении на угол , то есть годограф Михайлова, выходя из точки положительной полуоси , последовательно пересекает полуоси , проходя квадрантов. Рассмотрим уравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. , (4) где . По формуле (5) предыдущей главы уравнение (4) имеет в

рассматриваемом случае фундаментальную матрицу , где — неособая -периодическая непрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, — жорданова матрица, собственные числа которой — характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, что характеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту же роль, что собственные числа , когда постоянна. Учитывая, что , где — мультипликаторы

уравнения, получаем следующий результат: Теорема 3. Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают по модулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше

единицы. Пример. Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5: Уравнение будем называть устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым, если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятся из уравнения : , где . Поэтому можно сделать вывод, что при оба мультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине больше единицы, а при мультипликаторы являются

комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при уравнение неустойчиво, а при оно устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически. 3. Изменение фазового объема Как известно фазовый объем - объем в фазовом пространстве. 4. Одномерное движение частицы в потенциальном поле Будем рассматривать автономную систему в векторной форме: (2) где функция f(x) определена в . Автономные системы обладают тем свойством, что если —

решение уравнения (2), то , , также решение уравнения (2). Отсюда в частности следует, что решение можно записать в виде . В геометрической интерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеют общую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполне определяется начальной точкой , поэтому можно везде считать . Пусть — положение равновесия, т. е. . Для того чтобы точка была положением