Балансовые модели — страница 14

  • Просмотров 6328
  • Скачиваний 39
  • Размер файла 443
    Кб

Достаточность. Пусть при . В силу (*) при всех , что и дает асимптотическую устойчивость. Необходимость. Пусть для любых при . Положим . В силу (*) , следовательно, . Аналогично доказывается, что , , что означает при . Теорема доказана. Применим теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальную матрицу , , где — жорданова форма матрицы P. По теореме 1,

лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы при . Отсюда получаем следующую теорему: Теорема 2. Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких,

вещественные части которых положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественные части. Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы

с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица. Определение. Полином , где , , называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части. Если полином является полиномом Гурвица, то все . Составим -матрицу Гурвица вида Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином

являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица : Если степень полинома сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова. Определение. Пусть , где , , .

Кривая , называется годографом Михайлова функции . Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы: Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора при равен , где — число корней полинома с положительной вещественной частью с учетом их кратностей. Критерий Михайлова. Для того чтобы полином , не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в