Балансовая модель — страница 4

доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос. Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству ( Е - А )·х>0, т.е. если уравнение ( 6' ) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение. При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной. Из способа

образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )·х' = У', где вектор-план х' и ассортиментный вектор У' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У'>0. Таким образом, уравнение ( 6' ) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу. Обозначив обратную

матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем решение уравнения ( 6'' ) в виде _ _ х = S·У ( 7 ) Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A )-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х. Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме: x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn ( 8 ) ……………………………… xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ. Выясним экономический смысл элементов Sik матрицы S.

Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е. 1 _ 0 У1 = : 0 Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим 1 S11 _ 0 S21 _ х = S­ : = : = S1 0 Sn1 0 _ 1 задавшись ассортиментным вектором У2 = 0 , получим : 0 0 S12 _ 1 S22 _ х = S­ : = : = S2 0 Sn2 Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, составит 0 S1k _ : S2k _ х = S­ 1 = : = Sk , ( 9 ) : Snk 0 т.е. k-й столбец матрицы S. Из равенства ( 9 ) вытекает следующее: Чтобы

выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции. Так при этом виде конечного продукта производства только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k-го

продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо