Авиационные приборы — страница 9

корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси на комплексной плоскости корней; если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси (рис. 10), систе-ма будет неустойчивой (в, г на рис. 9); мнимая ось представляет собой границу устойчивости (д на рис. 9). Штриховка наносится в сторону зоны устойчивости системы. 1523365-15875 Рис. 10 Система будет находиться на границе устойчивости при наличии: пары чисто мнимых корней

характеристического уравнения; нулевого корня ( an  0 ); бесконечно большого корня ( a0  0). Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому существуют критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости системы без вычисления корней, непосредственно по характеристическому уравнению или по другим динамическим харак-теристикам системы. Необходимым (но недостаточным) условием

устой-чивости системы является положительность или отрицательность всех ко-эффициентов характеристического уравнения (22). Легко доказать, что в случае, когда корни характеристического уравне-ния вещественные отрицательные или комплексные с отрицательными вещественными частями, коэффициенты характеристического полинома © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г Составитель: Е.В. Антонец. 18 Разработчик: С. П. Пугин. Авиационные приборы,

пилотажно-навигационные комплексы: лабо-раторный практикум1. Теоретическая часть положительны ai  0 (i = 1, 2,…,n), что и является необходимым условием устойчивости замкнутой системы. Критерий устойчивости Гурвица. Относится к числу алгебраических позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по соответст-вующему ей характеристическому уравнению вида a0 pn  a1 pn−1  a2 pn−2  ...  an  0 . (23) Критерий устойчивости заключается в

том, что при а0 > 0, а1 > 0,…,аn > 0 должны быть больше нуля все n-определители Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов: a1 a3 a5 ... 0 a0 a2 a4 ... 0 0 a1 a3 ... 0 . (24) ... ... ... ... ... 0 0 0 ... an−1 0 0 0 0 ... an−2 an 2008505-1537335 Определители Гурвица составляются из матрицы (24) по следующему правилу:  a  0; a1 a3 ; a1 a3 a5  0 ;…;  0 . (25) 1 2   0 3  a 0 a 2 a 4 n−1 1 a0 a2 0 a4 a3 Условия нахождения системы на границе устойчивости получаются в результате приравнивания к нулю

n-го определителя: n  0 , т.е. an  0; n−1  0 . (26) Первое условие соответствует апериодической границе устойчивости, второе – колебательной границе. Например, для системы третьего порядка условие устойчивости по Гурвицу имеет вид: a0  0 ; 1  a1  0 ; 2  a1a2 − a0 a3  0 . (27) а условия нахождения системы на границе устойчивости: a0  0; a3  0 ; a1a2 − a0 a3  0 . (28) © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г Составитель: Е.В. Антонец. 19 Разработчик: С. П. Пугин. 0  ω  ∞ Ψ