Авиационные приборы — страница 10

(ω) Авиационные приборы, пилотажно-навигационные комплексы: лабо-раторный практикум1. Теоретическая часть Кри терий устойчивости Михайло ва. Рассмотрим характеристиче-ский полином замкнутой систем ы: D(P)  a0 p n  a1 p n−1  .....  an−1 p  an . (29) в котор ом р имеет чисто мнимое выражен ие p  jω , − ∞  ω  ∞ . При этих условиях по лучим характери стическ ий комп лекс D( jω)  D(ω)e jΨ (ω )  X (ω)  jY ( ω) , (30) где X (ω )  an − an−2ω 2  ...; Y (ω)  an−1ω −

an−3ω 3  ... . Если заданы все коэ ффициенты полинома и определенное значение частоты ω , то значение D( jω) изобразится на комплексной плоскости в виде то чки с координата ми Х, Y , являющ ейся ве ршиной вектора. При не-прерыв ном изме нении частоты ω от нуля до бесконечности вектор будет изменяться по величине и направлению, описыв ая концом кривую, назы-ваемую годогра фом Мих айлова (рис. 11).

154241586360154241512388852007235863602007235863602007235123952020072351238885268986086360268986086360268986012395202689860123888533724858636033724858636033724851239520337248512388854055110863604055110863604055110123952040551101238885 Рис. 11 При исследо вании устойчиво сти сист емы годо граф М ихайлова строит-ся по т очкам, причем д ля вычис ления X (ω) , Y ( ω) (30) з адаются различ-ные значения ча стоты ω . Результаты рас четов св одятся в таблицу, по ко-торой с троится затем годограф. Критерий устойч ивости Михайло ва уста- навливает связь

между в идом годографа, а именн о, аргум ентомпри и знаками вещественных частей кор ней хара ктерист ического © НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г Составитель: Е.В. Антонец. 20 Разработчик: С. П. Пугин. Авиационные приборы, пилотажно-навигационные комплексы: лабо-раторный практикум1. Теоретическая часть уравнения. Для этого х арактеристически й полин ом пред ставляе м в виде произведения сомножит елей: D(P)  a0 ( p − p 1 )( p − p2 )...( p − p n ) . (31) где p1

,.. ., pn – корни характеристи ческого уравнения. Подставляя P  jω , представи м характеристич еский ве ктор в виде D( jω)  a0 ( jω − p1 )( jω − p2 )...( jω − pn ) . 32) (3 2) каждая из скобок пред ставляе т собой комплексное число. Сле-довательно, D( jω) есть произве дение n комплексных чисел. П оскольку при перемноже нии ком плексны х чисел их аргу менты ск ладыва ются, ре-зультирующий угол пов орота вектора D( jω) пр и 0 ≤ ω ≤ ∞ будет равен сумме углов

поворота отдельных сомножителей выражен ия (32): Ψ  Ψ1  Ψ 2  ...  Ψ n . (33) По строив н а компл ексной плоскости годогра фы для каждого и з сомно- жителей выражен ия (32) в случаях, когда корень pi является вещественным от- рицатель ным или корни pi , i1 пре дставляют собой комплексные сопр яженные величины с отри цательно й вещественной частью, легко уб едиться, что при 0 ≤ ω ≤ ∞ годограф векто ра предст авляет собой прямую, а у глы