Атомические разложения функций в пространстве Харди — страница 9

  • Просмотров 4247
  • Скачиваний 42
  • Размер файла 812
    Кб

Пусть,() - нули функции( или, что то же самое, нули функции) Тогда, как отмечалось выше,- аналитическая в кругефункция и ,. (57) При этом функциятакже аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и. Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56): ,,. Так какдля любого, то по теореме 4 и , если. Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что() равномерно по, мы получим ,, т.е.,. Теорема

6 доказана. ОпределениеI.7. Пусть,, - произвольное число. Обозначим через,, область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точкик окружности, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( привырождается в радиус единичного круга). Дляположим ,, где- интеграл Пуассона функции. Функцияназывается нетангенциальной максимальной функцией для. В силу теоремы 2 для п.в.. (58) Установим, что для произвольной

функциивеличинане превосходит (по порядку) значения максимальной функции *) в точке х, т.е. ,. (59) Нам понадобится утверждение 3. а) если функция, то для любого ; б) если функция,то, где- постоянная, зависящая только от числа р. Пустьи. По определению интеграла Пуассона Положим. Тогда будем иметь и, в силу неравенства,, и периодичности, . (60) Так как обе функциииположительны прии отрицательны при( из (5)), то, предполагая без ограничения

общности, что, мы получим . (61) Для имеют место оценки , . Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что при, (62) если. Пусть, тогда . В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции,, , (63) где- постоянная, зависящая только от. Теорема 7. Пусть(),и ,. Тогдаи . (64) Доказательство. Утверждение теоремы 7 в случае, когда, есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4.

Пусть теперь. По теореме 6, где,, еслии. Из функцииможно извлечь корень: существует функциятакая, что, и, следовательно из (64) при р=2, получим . Оценка снизу длявытекает из (58). Теорема 7 доказана. Глава II. Атомические разложения функции в пространстве, пространство ВМО. §II.1.Пространство, критерий принадлежности функции из пространству. Рассмотрим() - пространство функций, являющихся граничными значениями действительных частей

функций из пространства: для п.в.,. (65) Ранее мы доказали, что ,, (66) и что- банахово пространство с нормой ; (67) при этом, если в (65), то () . (68) В замечании 3 уже говорилось о том, что припространствосовпадает с пространствоми из утверждения 2 следует, что (). Последнее соотношение теряет силу при- нетрудно проверить, что при , где и, следовательно, существует функция, для которой. Таким образом,- собственное подпространство в. Ниже мы дадим