Атомические разложения функций в пространстве Харди — страница 7

  • Просмотров 4244
  • Скачиваний 42
  • Размер файла 812
    Кб

В пределе прииз последнего равенства вытекает, что ,,. Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны. §I.3.Пространства и. Обозначим черезкласс тех функций,, которые являются граничными значениями функций из, т.е. представимы в виде для п.в.,. В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4и каждая функцияудовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольнойс условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из.

Следовательно, . (34) Из (34) вытекает, что(замкнутое) - подпространство пространства , а- банахово пространство с нормой (15). Пусть. Положим , , (35) ОпределениеI.5. Если функция, то сопряженной к ней функцией называется функция,, где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел приинтегралов. В дальнейшем нам понадобится Утверждение2. Для любой функциисопряженная функциясуществует и конечна п.в. на; при этом а), y>0; б)

если,, тои. Теорема 5. Следующие условия эквивалентны: а); б),,,; в); г), где- такая действительная функция, что ее сопряженнаятакже принадлежит пространству: . (36) Доказательство: Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2. Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :, имеют место равенства ,(37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что ,,, . Следовательно, равенства (37) выполняются, если- произвольный тригонометрический полином. Пустьфиксировано. Для произвольной функциииположим , , где,,. Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций(наличие этих свойств мы установим ниже): 1),,; 2) прифункции,, сходятся по мере к ; 3),,, где С - абсолютная константа. Итак,

предположим, что имеют место соотношения 1) - 3). Легко видеть, что, где, поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций,: по мере. (38) Для произвольногонайдем тригонометрический полиномтакой, что ,. (39) Тогда согласно 3) (40) и при . (41) Так как- полином, тои . (42) Учитывая, что, и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим,, что вместе с (38) доказывает равенство (37). Докажем теперь, что для произвольной функциисправедливы

соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как. Чтобы доказать 2), фиксируем произвольноеи представим функциюв виде ,,. (43) Из непрерывности функциилегко следует, что равномерно по. Поэтому при достаточно большихс учетом (43) мы будем иметь ,(44) Кроме того, в силу 1) и (43) ; из этого неравенства и (44) вытекает, что при . Для доказательства оценки 3) заметим, что , где. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функциии