Аппроксимация экспериментальных зависимостей

Задание 1 Данные давления водорода Н2 на линии насыщения приведены в таблице. Сделать аппроксимацию экспериментальных данных в виде степенной функции и многочлена первой степени. Произвести сравнительный анализ ошибки аппроксимации полученной двумя функциями. Таблица 1 Ts,0К 32 33 34 35 36 37 38 39 Pмм рт. ст. 360,3 509,5 699,2 935,3 1223.7 1570,5 1981,8 2463,8 Аппроксимация экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов. Теоретические

сведения Пусть, в результате эксперимента получена зависимость. Необходимо найти аналитическую формулу f = , которая аппроксимирует экспериментальную (табличную) зависимость. Выберем зависимость в виде полинома 2 – й степени, т.е. (1) В выражении (1) коэффициенты , , подлежат определению, причем эти коэффициенты должны быть подобраны таким образом, чтобы зависимость наилучшим образом приближалась к экспериментальной зависимости.

Пусть отклонение - различие между табличным значением в точке и значением аналитической функции в этой же самой точке, т.е.: (2) В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) наилучшими коэффициентами зависимости (1) будут такие, для которых сумма квадратов отклонений будет минимальной. (3) Используя необходимые условия существования экстремума для функций нескольких переменных , находим уравнение для определения

коэффициентов зависимости (1). (4) Из условия (4) получим систему линейных алгебраических уравнений: (5) Решив систему (5) найдем коэффициенты аппроксимирующей зависимости (1). Эффективным методом решения систем линейных алгебраических уравнений является матричный метод. Сущность его состоит в следующем. Пусть А — матрица коэффициентов системы уравнений, X — вектор неизвестных, В — вектор правых частей системы уравнений. Тогда

решение системы уравнений в матричной форме будет иметь вид: Х = А -1 В. Правило Крамера Если ранг матрицы совместной системы равен числу ее неизвестных, то система является определенной. Если число неизвестных системы совпадает с числом уравнений (m = n) и матрица системы невырожденная (det A ≠ 0), то система имеет единственное решение, которое находится по правилу Крамера: В этих формулах ∆ = det А — определитель системы, а ∆k —