Анализ регрессии в изучении экономических проблем — страница 7

коэффициенты в матричной форме. Здесь Y − вектор-столбец размерности n наблюдений зависимой переменной Y; Х − матрица размерности n Ч (m + 1), в которой i-я строка (i = 1, 2, … , n) представляет наблюдение вектора значений независимых переменных X1, X2, … , Xm; единица соответствует переменной при свободном члене b0; B − вектор-столбец размерности (m + 1) параметров уравнения регрессии (6.6); e − вектор-столбец размерности n отклонений выборочных

(реальных) значений yi зависимой переменной Y от значений y^i , получаемых по уравнению регрессии Y^i = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bmXm. (2.12) Нетрудно заметить, что функция Q= ∑ei2 в матричной форме представима как произведение вектор-строки eT = ( e1, e2, ... , en ) на вектор-столбец e. Вектор-столбец e, в свою очередь, может быть записан в следующем виде: e = Y − XB. (2.13) Отсюда : Q = eT⋅e = (Y − XB)T⋅( Y −XB) = YT Y −BT XT Y −YT XB +BT XT XB = = YT Y − 2BT XT Y + BTXT XB. (2.14) Здесь eT, BT, XT, YT − векторы и

матрицы, транспонированные к e, B, X, Y соответственно. При выводе формулы (6.14) мы воспользовались известными соотношениями линейной алгебры: (Y − XB)T = YT - (XB)T; (XB)T = BTXT; BT XT Y = YT XB. (2.15) Эти соотношения легко проверить, записав поэлементно все мат-рицы и выполнив с ними нужные действия. Необходимым условием экстремума функции Q является равенство нулю ее частных производных по всем параметрам bj, в матричном виде имеет следующий вид: (2.16) Для

упрощения изложения обозначим матрицу XT X размерности (m + 1) Ч (m + 1) через Z. Обозначим вектор-столбец ХTY размерности (m + 1) через R. Тогда BT XT Y = BTR = ∑ajrj+1, где rj+1 – соответствующий элемент вектора R. Следовательно, формула (2.16) справедлива. Приравняв ∂Q/ ∂b0 нулю, получим общую формулу (2.18) вычисления коэффициентов множественной линейной регрессии. Здесь (XT X)−1 − матрица, обратная к XT X. Полученные общие соотношения справедливы для

уравнений регрессии с произвольным количеством m объясняющих переменных. Проанализируем полученные результаты для случаев m = 1, m = 2. Для парной регрессии Y = b0 + b1X + e имеем: (Приложения А) Сравнивая диагональные элементы z′jj матрицы Z−1= (XT X)−1 с формулами , замечаем, что Sb2j= S2 ⋅ z′jj , j = 0, 1. Рассуждая аналогично, можно вывести формулы (осуществление выкладок рекомендуем в качестве упражнения) определения коэффициентов регрессии для

уравнения с двумя объясняющими переменными (m = 2). Соотношение (6.17) в этом случае в расширенной форме имеет вид системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными b0, b1, b2: ∑yi = nb0 + b1∑xi1 + b2∑xi2 , ∑xi1yi =b0∑xi1 +b1∑xi21 +b2∑xi1xi2, (2.19) ∑xi2yi =b0∑xi2 +b1∑xi1xi2 +b2∑xi22. 2.3 Дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов Знание дисперсий и стандартных ошибок позволяет анализировать точность оценок, строить доверительные интервалы для теоретических