Анализ регрессии в изучении экономических проблем — страница 6

/Выполнимость данной предпосылки важна для проверки статистических гипотез и построения интервальных оценок. Как и в случае парной регрессии, истинные значения параметров βj по выборке получить невозможно. В этом случае вместо теоретического уравнения регрессии (6.3) оценивается так называемое эмпирическое уравнение регрессии. Эмпирическое уравнение регрессии представим в виде: Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ... + bmXm+ е. (2.6) Здесь b0, b1, ..., bm −

оценки теоретических значений β1, β2, ..., βm коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); е − оценка отклонения ε. Для индивидуальных наблюдений имеем: yi = b0 + b1xi1 + … + bmxim + ei. (2.7) Оцененное уравнение в первую очередь должно описывать общий тренд (направление) изменения зависимой переменной Y. При этом необходимо иметь возможность рассчитать отклонения от этого тренда. По данным выборки объема n: (xi1, xi2,… , xim, yi), i = 1, 2,

… , n требуется оценить значения параметров βj вектора β, т. е. провести параметризацию выбранной модели (здесь xij, j = 1, 2, … , m − значение переменной Xj в i-м наблюдении). При выполнении предпосылок МНК относительно ошибок εi оценки b0, b1, ..., bm параметров β1, β2, ..., βm множественной линейной регрессии по МНК являются несмещенными, эффективными и состоятельными (т. е. BLUE-оценками). На основании (6.7) отклонение еi значения yi зависимой

переменной Y от модельного значения y)i , соответствующего уравнению регрессии в i-м наблюдении (i = 1, 2, …, n), рассчитывается по формуле: ei = yi – b0 – b1xi1 − … − bmxim. (2.8) Тогда по МНК для нахождения оценок b0, b1, ..., bm минимизируется следующая функция: Q= ∑ei2 = ∑(yi −(b0 +∑bjxij))2 . (2.9) i=1 i=1 j=1 Данная функция является квадратичной относительно неизвестных величин bj, j = 0, 1, ..., m. Она ограничена снизу, следовательно, имеет минимум. Необходимым условием

минимума функции Q является равенство нулю всех ее частных производных по bj. Частные производные квадратичной функции (6.9) являются линейными функциями. Приравнивая их к нулю, мы получаем систему (m + 1) линейного уравнения с (m + 1) неизвестным: ∂Q/ ∂b0 = −2∑n (yi −(b0 +∑m bjxij)), ∂Q/ ∂bj = −2∑(yi −(b0 +∑bjxij))xij, j=1, 2, ... , m. (2.10) Такая система имеет обычно единственное решение. В исключительных случаях, когда столбцы системы линейных уравнений линейно

зависимы, она имеет бесконечно много решений или не имеет решения вовсе. Однако данные реальных статистических наблюдений к таким исключительным случаям практически никогда не приводят. Система (6.11) называется системой нормальных уравнений. Ее решение в явном виде наиболее наглядно представимо в векторноматричной форме. 2.2 Расчет коэффициентов множественной линейной регресcии Представим данные наблюдений и соответствующие