Анализ обобщенных функций — страница 5

  • Просмотров 2651
  • Скачиваний 45
  • Размер файла 131
    Кб

любой обобщенной функции так как Следовательно, y(t) является фундаментальным решением уравнения (4). В частности, фундаментальное решение уравнения (6) с оператором принадлежит алгебре со сверткой Следовательно, Рассмотрим операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение где a(t) и b(t)  Среди эффективных методов решения этого уравнения приведем метод преобразования Лапласа. Применив преобразование

Лапласа к левой и правой части этого уравнения, имеем Отсюда следует Если для функции L(p) существует оригинал, принадлежащий то он и является искомым решением. В качестве примера рассмотрим уравнение Применив к нему преобразование Лапласа, получим (р2-2) L[y(t)] = 1. Следовательно, Откуда находим решение 7.Задача Коши Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (7) Задачей Коши для этого уравнения называется задача, заключающаяся в

определении функции удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям в точке t = to: yo = y(to), y'o = y'(to), . . . , yo(n-1) = y(n-1)(to). Задача Коши имеет единственное решение. Найдем решение, удовлетворяющее уравнению (7), а также начальным условиям. (8) t+0 Запишем уравнение (8) в обобщенных функциях, продолжив функцию f(t) и искомое решение нулевым значением для t<0. Введем функции и соответствующие обобщенные функции. Начальные условия в этом

случае являются скачками функции y(t) и ее производных до n-1-го порядка включительно в точке t = 0. Действительно, рассмотрим вначале случай, когда у функции y(t) только скачок yo, тогда где y'(t) – производная в обычном смысле. Если у функции еще и скачок производной равный y'o, то Производную порядка p (p  n-1) обобщенной функции можно записать в виде Введем обозначение Где Таким образом, дифференциальное уравнение (7) переходит в уравнение

(9) Преимущество этого уравнения состоит в том, что оно содержит начальные условия Коши и в формулировке задачи участвуют обобщенные функции. Уравнение в свертках, соответствующее уравнению (9), имеет вид Если (t) – его фундаментальное решение, то с учетом последней формулы можно записать (10) С помощью вариации постоянных можно записать фундаментальное решение в виде (t) = (t) yn(t) , где yn(t) - решение однородного уравнения с

начальными условиями Тогда решение уравнения (10) принимает вид Таким образом, решение уравнения (7) с начальным условием (8) принимает вид где предполагается, что f(t) – локально интегрируемая функция. Пример. Рассмотрим уравнение y''(t) = 0, t  0 с начальными условиями lim y(t) = yo , lim y'(t) = y'o t+0 t+0 В этом уравнении а1 = а2 = 0 и b1 = yo, b2 = y'o, а функция y2(t) = t является решением однородного уравнения, удовлетворяющая условиям y2(0) = 0 , y'(0) = 1. Поэтому y(t) =