Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка — страница 4

Тогда и система (6) перепишется в виде (8) а уравнение (7) - в виде . (9) Ясно, что уравнение (9) интегрируется посредством первого трансцендентна Пенлеве заменой,, где,. Таким образом, справедлива [5] Теорема 2. Произвольное решение уравнения Риккати, где q - произвольное решение первого уравнения Пенлеве, является решением уравнения. Известно также [5], что уравнение имеет рациональные решения тогда и только тогда, когда. Они легко

получаются из тривиального решения при с помощью формул (1), (2). В частности, при имеем решение, а при решение. Характерной особенностью уравнения является то, что оно является частным случаем уравнения , где,,, получающегося из высшей иерархии Кортевега де Фриза , (10) где,, при помощи редукции ,. При уравнения и (10) являются [6] классическими уравнениями Кортевега де Фриза и вторым уравнением Пенлеве связанными преобразованием ,. Для в

получаем уравнение. Ещё одной важной особенностью уравнения является то, что оно имеет трёхпараметрические и двухпараметрические семейства полярных решений [7]. В силу теоремы 1 таким же свойством обладает и уравнение (5). Подробное описание различных свойств решений уравнения в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8]. Заключение Исследование аналитических свойств решений системы двух

нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило доказать существование у неё четырёхпараметрического семейства решений, порождаемого общим решением высшего аналога второго уравнения Пенлеве. На основании этого доказано существование у системы рациональных, а также двух - и трёхпараметрических семейств

полярных решений. Работа (в рамках поставленной задачи) является завершённой. В процессе исследований использовался пакет символьных вычислений МАТЕМАТИКА. Список использованных источников Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир. 1987. - 479 с. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. - М.: Мир. 1989. - 328 с. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. - М.: Мир. 1985. - 472 с. Баренблатт Г.И. Подобие,

автомодельность, промежуточная асимптотика. - Л.: 1982. - 255 с. Gromak V.I. Backlund transformations of Painleve’ equations and their applications // The Painleve’ property, one century later. CRM series in Mathematical Physics /. Ed. R. Conte. - New York: Springer-Verlag, 1999. - P.687-734. Airault H. Rational solutions of Painleve’ equations // Stud. Appl. Math. - 1979. - Vol.61. - P.31-53. Громак В.И., Голубева Л.Л. Обобщённое второе управление Пенлеве четвертого порядка // Весцi НАН Беларусi. Серыя фiз. - мат. Навук. - 2004 (в печати). Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных