Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка — страница 3

достаточно хорошо изучены. Наибольший интерес в настоящее время привлекают так называемые высшие аналоги уравнений P-типа. По всем этим причинам поиск автомодельностей в последнее время начинается сразу, как только открывается новая область исследования. В данной работе исследуются некоторые аналитические свойства решений системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. Характерной особенностью

уравнений данной системы является то, что они определяют преобразования (прямое и обратное) Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве есть точная автомодельная редукция высшего аналога уравнения Кортевега де Фриза, имеющего широкий спектр приложений в нелинейной физике. Метод исследования аналитических свойств решений указанной выше системы состоит в

исследовании эквивалентных ей двух нелинейных дифференциальных уравнений шестого порядка с учётом аналитических свойств решений высшего аналога второго уравнения Пенлеве. Полученные в работе результаты являются новыми. Основная часть Хорошо известно, что высший аналог второго уравнения Пенлеве [5] имеет преобразование Беклунда и обратное к нему, определяемые формулами , (1) , (2) соответственно с произвольным параметром. Это

означает, что если известно решение уравнения (3) при некотором фиксированном значении параметра, то формула (2) позволяет получить решение уравнения при фиксированном значении параметра. И наоборот, если известно решение уравнения при фиксированном значении параметра, то с помощью (1) можно получить решение уравнения (3). При этом предполагается, что знаменатели дробей в (1) и (2) при любых значениях z отличны от нуля. Система (1), (2)

эквивалентна по уравнению: , (4) где Относительно система (1), (2) также эквивалентна уравнению шестого порядка , (5) где Нетрудно проверить, что уравнение (5) получается из (4) с помощью преобразований,. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Все решения уравнения являются одновременно решениями уравнения (4). В справедливости данной теоремы можно убедиться, если из найти, и вместе с подставить в уравнение (4). Остановимся на

некоторых свойствах решений уравнения. Лемма. Уравнение можно записать в виде системы (6) Справедливость этого утверждения устанавливается исключением из системы (6). Заметим, что из (6) также следует существование трёхпараметрического семейства решений уравнения при, которое определяется общим решением уравнения (7) Действительно, если в (6) положить,, то мы получаем уравнение (7). Для интегрирования уравнения (7) введём функцию.