Аналитические свойства решений системы двух дифференциальных уравнений третьего порядка — страница 2

самостоятельно с привлечением достаточно большого объёма библиографических источников. Содержание Введение Основная часть Заключение Список использованных источников Введение Среди решений уравнений в частных производных встречаются решения, зависящие от какой-нибудь одной комбинации независимых переменных и, следовательно, удовлетворяющие некоторому обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ). Решения,

обладающие указанным свойством, называются автомодельными решениями. Отметим, что под ОДУ понимается как одно обыкновенное дифференциальное уравнение, так и система таких уравнений. Например, известное уравнение Кортевега де Фриза (KdV) допускает как стационарные решения (решения типа “бегущая волна”) (при этом, удовлетворяют ОДУ , ), так и автомодельное решение , где, удовлетворяют уравнению . Отметим, что термин

“автомодельное решение" относится, вообще говоря, к решению, зависящему (нетривиальным образом) от меньшего числа независимых переменных, чем полное решение. Явление, развивающееся во времени, называется автомодельным, если распределения его характеристик в разные моменты времени получаются одно из другого преобразованием подобия. Установление автомодельности всегда является успехом для исследователя: автомодельность

упрощает вычисление и представление характеристик явления. Автомодельность позволяет во многих случаях свести задачу математической физики к решению ОДУ, что существенно, во многих случаях, упрощает исследование. Кроме того, автомодельные решения используются как эталоны при оценке приближённых методов решения более сложных задач. Широкая компьютеризация научных исследований и открытие метода обратной задачи (ОЗР)

вызвали ещё больший интерес к автомодельным решениям [1-3]. Во-первых, автомодельность по-прежнему продолжает привлекать как глубокий физический факт, свидетельствующий о наличии определённого типа стабилизации исследуемых объектов, и имеющий место для достаточно широкого круга условий [4]. Во-вторых, автомодельные решения играют важную роль при изучении поведений решений уравнений в частных производных по истечении

длительного времени (в области, где нельзя пренебречь вкладом фона). В-третьих, открытие метода ОЗР позволило установить тесную связь между автомодельными решениями нелинейных уравнений в частных производных, интегрируемых методом ОЗР, и решениями ОДУ P-типа, т.е. ОДУ, общий интеграл которых не содержит многозначных подвижных особых точек. Следует отметить, что аналитические свойства решений ОДУ P-типа первого и второго порядка