Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле

Содержание Введение §1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле §2. Функция θ(x ,χ), её функциональное уравнение §3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость §4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле §5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле 5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций 5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции

Дирихле 12 §6. Обобщенная гипотеза Римана Библиографический список Введение Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле. В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ζ-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в

арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм. Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о

распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем. В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле. В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза

Римана входит в список семи «проблем тысячелетия». §1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся. Пусть k=ра, где р> 2 — простое число, α≥1. Как известно, по модулю k