Аналитическая геометрия в решении экономических задач — страница 3

продуктивности:  Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объём валового выпуска X по формуле (2.20):  Найдём матрицу полных затрат  :  Так как  по формуле (1.14)  По условию вектор конечного продукта  Тогда по формуле (2.17) получаем вектор валового выпуска:  т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл. ед. 2. Линейная модель обмена В

качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена(модель международной торговли). Пусть имеется n стран  национальный доход каждой из которых равен соответственно  Обозначим коэффициентами  долю национального дохода, которую страна  тратит на покупку товаров у страны . Будем считать, что весь

национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.  Рассмотрим матрицу , которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (3.32) сумма элементов любого столбца матрицы A равна 1. Для любой страны  (i=1,2,…,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит :  Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка

от торговли каждой странны должна быть не меньше её национального дохода :  Если считать, что  то получаем систему неравенств:  (3.33) Сложив все неравенства системы (3.33), получим после группировки  Учитывая (3.32), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству  Таким образом, неравенство  невозможно, и условие принимает вид  С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут

одновременно получать прибыль. Вводя вектор  национальных доходов стран, получим матричное уравнение  (3.34) В котором вектор x записан в виде вектор столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению  Пример структурная матрица торговли трёх стран. Структурная матрица торговли трёх стран  имеет вид : . Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной

торговли. Решение. Находим собственный вектор x, отвечающий собственному значению , решив уравнение  или систему  Методом Гаусса. Найдём  ,  т.е.  Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трёх стран достигается при векторе национальных доходов  т.е. при соотношении национальных доходов стран 3/2 : 2 : 1 или 3 : 4 : 2.