Аналитическая геометрия — страница 6

кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’) Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля. Точка O’ – единственная точка. Центр симметрии кривой существует если I20 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа Поворот: Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим: , после

такого преобразования уравнение принимает вид a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3) ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0 и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство: 1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда а11’’x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2 I2=a11’’a22’’ > 0 I1= a11’’+a22’’ > 0 a11’’ > 0; a22’’ > 0 Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса. 2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа. 3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса. ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

ТИПА. Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I2<0, I30 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых. Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’ < 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0 Пусть I3>0 В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ. Пусть I3<0 -(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2 В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY Пусть I3=0 а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ

НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2 Определение: ненулевой вектор (, ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой. (, ) – вектор асимптотического направления. a112+2a12+a222=0 (*) Рассмотрим (’, ’) параллельный (, ): следовательно . Дробь

/ характеризует вектор асимптотического направления. Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка. Решение: положим, что 0 и поделим на 2, получим: a11(/)2+2a12/+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем /. т.к. у линий гиперболического и параболического типов I20, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые