Аналитическая геометрия — страница 5

соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1. ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы. Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус. r=  d=p+cos e=/p+cos - полярное уравнение

эллипса, параболы и правой ветви гиперболы. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо: у-у0=y’(x0)(x-x0) Рассмотрим касательную к кривой следовательно ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0 - уравнение касательной к эллипсу. - уравнение касательной к гиперболе. - уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота. Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами: (е1;е1’)=cos u (е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u (е2;е1’)=cos (90-u)=sin u (е2;е2’)=cos u Базис рассматривается ортонормированный: (е1;е1’)=(е1, 11е1+12е2)=

11 (е1;е2’)= (е1, 21е1+22е2)= 21 (е2;е1’)= 12 (е2;е2’)= 22 Приравниваем: 11=cos u 21= - sin u 12=sin u 22=cos u Получаем: x=a+x’cos u – y’sin u y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u. ------------ x=a+x’ y=b+y’ - формулы параллельного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не

меняющая своего значения при преобразовании системы координат. Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3 Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию. Определение: I2>0 – элиптический тип I2<0 – гиперболический тип I2=0 – параболический тип ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задана на плоскости линия уравнением (1). Параллельный перенос: Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого: a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2) точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0. Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0 Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии