* Алгебры и их применение — страница 10

  • Просмотров 8097
  • Скачиваний 70
  • Размер файла 349
    Кб

счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению. Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1→Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1. Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений. Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т. Определение 2.9. μ – измеримое поле

гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям: (i) Г – векторное подпространство Н(t); существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t); для любого хГ функция t→||x(t)|| μ – измерима; пусть х – векторное поле; если

для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то хГ. Пусть ε = ((H(t))tT, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 dμ(t) < +∞. Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим (x, y) = (x(t), y(t)) dμ(t) Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым

интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dμ(t). Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – измеримое поле гильбер- товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем. Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление π(t) *-алгебры А в

Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А. Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→π(t)х измеримо. Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост- ранстве Н =Н(t) dμ(t). Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н. Доказательство. Для любых х, yА имеем π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) +

π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) + +π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y) Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)* Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =π(t) dμ(t). Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t). Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1,