*-Алгебры и их применение — страница 4

  • Просмотров 8503
  • Скачиваний 73
  • Размер файла 171
    Кб

алгеб-рой, если: А есть линейное пространство; в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-воряющая следующим условиям: α (x y) = (α x) y, x (α y) = α (x y), (x y) z = x (y z), (x + y) = xz +xy, x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел α. Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-становочны. Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С

комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что (x*)* = x; (x + y)* = x* + y*; (α x)* = x*; (x y)* = y*x* для любых x, y С. Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-сопряженным. Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А. 1.2. Примеры На А = С

отображение z → (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру. Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT: |f (t)| ε} компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f→ получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1). Пусть

Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра. Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (АК(Н)). Алгебра К(Н)

в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором. Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов . Алгебра W есть *- алгебра, если положить . () 1.3. Алгебры с единицей Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий

условию ех = хе = х для всех хА (1.1.) Элемент е называют единицей алгебры А. Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы. Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то е΄х = хе΄ = х, для всех хА (1.2.) Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим: ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е. Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей. Доказательство.