*-Алгебры и их применение — страница 10

  • Просмотров 8497
  • Скачиваний 73
  • Размер файла 171
    Кб

сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному). Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не

убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда В=λ dE(λ) = λ0 1. Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно, В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В* Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2= также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны

единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр. Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо. Определение

2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим π и π΄. Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т* Отсюда получаем, что Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.) Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.) Если, кроме того, = Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны. Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления. Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π1…..πn , где πi неприводимы. Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции. Разложение π = π1…..πn не единственно.