Алгебраические системы — страница 5
удовлетворяет условиям аксиомы индукции. Т.к. - истина, то . Если , то - истина и по второму условию теоремы индукции - истина. Поэтому . Множество удовлетворяет условиям аксиомы индукции. Поэтому . Обозначение. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным. Для обозначим . Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который удовлетворяет условиям: 1. - истина. 2. (- истина ®- истина). Тогда предикат тождественно истинен на . Теорема 3. (сильная форма принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям: 1. - истина. 2. (- истины® - истина). Тогда предикат тождественно истинен на . Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который удовлетворяет условиям: 1. - истина. 2. (- истины ® - истина). Тогда предикат тождественно истинен на . Числа Фибоначчи Определение. Числа Фибоначчи , для , определяются рекуррентно (1) , ; (2) для всех . Из определения чисел Фибоначчи следует, что , , , , , , , , , , . Для вычисления чисел Фибоначчи справедлива следующая формула Бине (3) , . Из (1) и (2) следует, что индукционное предположение, при доказательстве формулы Бине, должно предполагать справедливость (3) для и , и значит, начальные условия должны требовать выполнение (3) для и . Поэтому доказательство формулы Бине может проводиться по следующей теореме математической индукции. Теорема 5. Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям: 1. - истины. 2. (- истины ® - истина). Тогда предикат тождественно истинен на . Проведём доказательство формулы Бине по теореме 5. Для и равенство (3) принимает вид , . Очевидно, что эти равенства верны. Предположим, что равенство (3) истинно для чисел и . Тогда из (2) следует, что . После простых преобразований правой части получим, что По индукции формула Бине доказана. Теорема 6. Пусть - одноместный предикат на , который удовлетворяет условиям: 1. - истина. 2. (- истины ® - истина). Тогда предикат тождественно истинен на . п.3. Основное свойство ассоциативных операций. Теорема. Если бинарная операция на множестве ассоциативна, то при любой расстановке скобок, задающих порядок выполнения операций в произведении значения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит от способа расстановки скобок. Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим
Похожие работы
- Доклады
- Рефераты
- Рефераты
- Рефераты
- Контрольные