Алгебраические кривые и диофантовы уравнения — страница 9
глав теории эллиптических кривых, причём весьма неожиданно даже для некоторых специалистов, считавших, что над этой проблемой придётся работать ещё долгое время. Можно смело утверждать, что этот результат принадлежит к числу интереснейших математических результатов последних лет. Разумеется, в рамках настоящей лекции невозможно указать даже хотя бы идею метода доказательства Мазура. Да это и не входит в мою задачу. Я хотел только попытаться пройти вместе с вами небольшую часть пути развития одной математической проблемы – от Пифагора через Диофанта и гипотезу Ферма к рациональным точкам эллиптических кривых – и показать, как в ходе исследования проблему видоизменяли, обобщали и снова конкретизировали, частично решали и возводили на её основе новые теории. Пусть нематематики простят мне, что время от времени я вынужден был обращаться к математическим понятиям и формулам. Примечания 1. Формально-математически это означает отсутствие особенностей у соответствующей комплексной проективной кривой, представляющей собой тем самым поверхность Римана рода g > 1. назад к тексту 2. Случаи, когда квадрика вырождается в точку (как это будет, например, для кривой, задаваемой уравнением x² + y² = 0), не принимаются во внимание. назад к тексту 3. Происхождение этого названия имеет долгую историю. Уже в XVII в. при вычислении длин дуг эллипсов и других кривых математики столкнулись с интегралами вида dx f (x) 0 где f (x) – многочлен степени не выше 4. Исследование этих эллиптических интегралов начал Эйлер. Абель и независимо от него Якоби рассмотрели обратные функции для этих интегралов. Следуя Якоби, их стали называть эллиптическими функциями. Выяснилось, что это двоякопериодические мероморфные функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению вида X ´ ² – f (X) = 0. Исходя из этого уравнения, можно показать, что эллиптические функции – это в точности функции, мероморфные на эллиптических кривых (понимаемых как компактные римановы поверхности). назад к тексту 4. Видоизменив метод Грюнвальда и Циммерта, К.Наката нашёл недавно пример кривой ранга 9 (К.Nakata, Manuscripta Math. 29 (1979)). назад к тексту Литература (Превосходные библиографии имеются в [4] и [17]. По проблеме Ферма полезно сравнить [5] и [15].) Список литературы И.Г.Башмакова, Диофант и диофантовы уравнения. – М: Наука, 1972. назад к тексту K.L.Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen, J. reine angew. Math. 52 (1856). назад к тексту В.J.Birch, H.P.F.Swinnerton-Dyer, Notes on elliрtic curves. II, J. reine angew. Math. 218 (1965). назад к тексту W.S.Cassels, Diophantine equations with special reference to elliptic, J. London Math. Soc. 41 (1966). назад к тексту H.M.Edwards, Fermat's Last Theorem, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol.50, Springer-Verlag, New York –
Похожие работы
- Доклады
- Рефераты
- Рефераты
- Рефераты
- Контрольные