Алгебраические кривые и диофантовы уравнения — страница 5

  • Просмотров 3934
  • Скачиваний 48
  • Размер файла 74
    Кб

точек (рис.5). Рис.5 Рис.6 Случай d = 3 является в известном смысле промежуточным между рассмотренными. Как мы видели, на кривой Ферма F3 (рис.4) лежат лишь две рациональные точки, а сейчас мы приведём пример кривой третьего порядка, на которой бесконечное число рациональных точек. Для этого воспользуемся следующим методом секущих, представляющим собой обобщение указанного ранее способа для квадрик (и этот метод тоже встречается у

Диофанта; см. [1], § 6): Если P и Q – две рациональные точки кривой C третьего порядка и прямая, проходящая через P и Q, пересекает кривую C ещё в одной точке R, то R также является рациональной точкой (рис.6). Это утверждение доказывается очень просто. Если (9) g: y = rx + s – уравнение прямой, проходящей через точки P и Q, то r и s – рациональные числа, ибо их можно выразить через координаты (xP, yP) и (xQ, yQ) точек P и Q по формулам r = yP – yQ xP – xQ , s = yP – r xP = xP yQ

– yP xQ xP – xQ . Подставив (9) в уравнение кривой C, получим для x уравнение третьей степени (10) x3 + ax2 + bx + c = 0 с рациональными коэффициентами a, b, c. По условию корнями его являются абсциссы точек пересечения P, Q и R прямой g с кривой C, т.е. xP , xQ , xR . Однако, зная корни уравнения, можно найти его коэффициенты совершенно так же, как это делается в школе для квадратного уравнения. Например, сумма корней, взятая с противоположным знаком, равна

коэффициенту при x2: xP + xQ + xR = –a. По предположению xP и xQ рациональны, поэтому рациональным будет и xR , а значит, и yR = r xR + s, т.е. R – рациональная точка, что и требовалось доказать. Опробуем этот способ на кривой E, заданной уравнением (11) E: y2 = x3 – 25x, Рис. 7. отправляясь от точек P = (–5, 0), Q = (0, 0), R = (5, 0) и S = (–4, 6) (рис.7). Сначала, используя прямую SQ получим точку S1 с координатами (61/4, –93/8), затем получим точку S2 = (5/9, –319/27), далее точку S3 = (12473/961,

–4013790/29791) и т.д. Из уравнения (11) видно также, что кривая E симметрична относительно оси х: вместе с каждой точкой T(xT , yT) на кривой лежит и симметричная ей относительно оси x точка T'(xT , –yT), и если точка T рациональна, то и T' будет рациональной. Это можно подогнать под описанный выше метод секущих следующим образом: дополним кривую E «несобственной точкой» O в направлении оси y. Прямые, проходящие через O, – это прямые, параллельные оси y,

и мы можем получить точку T' как «третью точку пересечения» прямой, проходящей через O и T, с кривой E. Далее, можно использовать предельный случай метода секущих – метод касательных: вместо прямой, проходящей через рациональные точки P и Q, брать касательную t к кривой в рациональной точке P (считая точки P и Q совпавшими). Рассуждениями, аналогичными проведённым ранее, можно показать, что точка пересечения прямой t с кривой E тоже