Алгебраические группы матриц — страница 9

  • Просмотров 5422
  • Скачиваний 76
  • Размер файла 990
    Кб

произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям Будем говорить, что матрица получается в результате умножения матрицы на матрицу . Принято писать . Таким образом, произведением прямоугольной матрицы размера и прямоугольной матрицы размера называется прямоугольная матрица размера с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана 3.2.1 Теорема. Произведение двух линейных отображений с матрицами и является

линейным отображением с матрицей . Другими словами, Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6). Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки на -й столбец ", согласно

которому Число строк, матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, , как показывает хотя бы следующий пример: Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с

рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике. Следствие. Умножение матриц ассоциативно: Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же

результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7). 3.3 Квадратные матрицы Пусть (или ) --- множество всех квадратных матриц () порядка с вещественными коэффициентами , Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица Можно записать , где - символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить на , показывает, что

справедливы соотношения Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с . Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу . Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц: - известная нам скалярная матрица. В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт