Алгебраические группы матриц — страница 8

  • Просмотров 5423
  • Скачиваний 76
  • Размер файла 990
    Кб

вектору : Соотношение (2) показывает, что отображение полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив мы обнаруживаем, что задание равносильно заданию прямоугольной матрицы размера со столбцами , а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить . 3.1.1 . Определение. Отображение , обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из в . Часто, в особенности при ,

говорят о линейном преобразовании. Матрица называется матрицей линейного отображения . Пусть , --- два линейных отображения с матрицами и . Тогда равенство равносильно совпадению значений для всех . В частности, , откуда и . Резюмируем наши результаты: 3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями в и матрицами размера существует взаимно однозначное соответствие. Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных

отображениях произвольных множеств и . Условия (i), (ii) предполагают, что и --- подпространства арифметических линейных пространств , . Обратим внимание на специальный случай , когда линейное отображение , обычно называемое линейной функцией от переменных, задается скалярами : Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения при фиксированных и можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть --- два

линейных отображения. Отображение определяется своими значениями: В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов. Так как то - линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице . Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером : Матрицу с элементами естественно назвать линейной комбинацией матриц и с коэффициентами и : Итак, . Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные

комбинации линейных функций снова являются линейными функциями. 3.2 Произведение матриц Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в

терминах матриц. Посмотрим как это делается. Пусть , --- линейные отображения, --- их композиция. Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что --- линейное отображение, но это довольно ясно: (i) ; (ii) ; поэтому по теореме 1 с ассоциируется вполне определенная матрица . Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле (): С другой стороны, Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что ---