Алгебраические группы матриц — страница 4

  • Просмотров 5421
  • Скачиваний 76
  • Размер файла 990
    Кб

возьмем многочлен Пусть --- точка из , в которой . Рассмотрим многочлен Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение Пусть , . Имеем: Если , то , если же , , то . В любом случае . Следовательно, . Теорема доказана. Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы

будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме). Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. Подгруппа алгебраической группы тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы . <<Только тогда>> очевидно.

<<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что Конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы всегда лежит в центре . В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел , то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в

полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать -порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт). 1.4. О -группах Пусть - поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из , выделяемая

полиномиальными уравнениями с коэффициентами в . Иначе можно сказать, что это -порция, т. е. пересечение с , некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над . Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как -группы по отношению к некоторой большей универсальной области . В этом смысле понятие алгебраической -группы является более общим, так как от не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени

трансцендентности над простым полем. В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же -группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену. Многие результаты о -группах по