Алгебраические числа — страница 8

  • Просмотров 5731
  • Скачиваний 460
  • Размер файла 51
    Кб

так что при любых целых a и b имеем: . 3.2. Трансцендентные числа Лиувилля. Числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами, не исчерпывают все множество действительных чисел, т.е. существуют действительные числа отличные от алгебраических. Определение 6: Любое неалгебраическое число называется трансцендентным. Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем. Доказательство существования

трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел. Теорема 6: Пусть a – действительное число. Если для любого натурального n³1 и любого действительного c>0 существует хотя бы одна рациональная дробь , такая, что (11), то a – трансцендентное число. Доказательство: Если бы a было алгебраическим, то нашлось бы

(теорема 5) целое положительное n и действительное c>0 такие, что для любой дроби было бы , а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что a алгебраическое число, т.е. трансцендентное число. Теорема доказана. Числа a, для которых при любых n³1 и c>0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля. Пример: 1)    a – трансцендентное число. Возьмем произвольные

действительные n³1 и c>0. Пусть , где k выбрано настолько большим, что и k³n, тогда Поскольку для произвольных n³1 и c>0 можно найти дробь такую, что , то a – трансцендентное число. Заключение. Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для

средней школы. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел. Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену. В работе

введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами. Все теоремы даны с полными доказательствами. Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними, даны с доступными пояснениями и, при необходимости, с доказательством. Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк развития теории чисел, первый параграф посвящен уже