Алгебраические числа — страница 7

  • Просмотров 5725
  • Скачиваний 460
  • Размер файла 51
    Кб

нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени. 2) a=и b=ab=- алгебраическое число 3-й степени. III. Рациональные приближения алгебраических чисел. 3.1. Теорема Лиувилля. Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при

замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби. Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая, что для любой рациональной дроби a, будет выполняться неравенство: (5) Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое, что для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство: (6)

В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема: Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа a степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от a, такое, что для всех рациональных чисел (¹a) будет иметь место неравенство: (7) Доказательство: Пусть f(x)=A0xn+ A1xn-1+An неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является a. В качестве f(x) можно, например, взять

многочлен, получающийся из минимального для a многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей. Согласно теореме Безу, имеем: f(x)=(x-a)g(x), (8) где g(x) – многочлен с действительными коэффициентами. Возьмем произвольное d>0. |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте [a-d; a+d], т.е. существует положительное число M, такое, что |g(x)|£M, для всех x из этого сегмента. Обозначим

через c=min и Для произвольного рационального числа могут представиться две возможности: 1)    лежит вне сегмента |a-dm; a+dm|, тогда 2)    удовлетворяет неравенствам: a-d££a+d, тогда |g(£M и, подставляя в (8) вместо x значение (9) Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени n³2 не имеет рациональных корней, а при n=1 не имеет корней, отличных от a, так что: f()= Поскольку числитель - целое неотрицательное,

отличное от нуля, т.е. число большее или равное 1, то (10). Сравнивая неравенства (9) и (10) получаем , так что и в этом случае имеем: . Теорема доказана. Пример: Пусть z – неквадратное целое число. Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел имело бы место неравенство: . - корень многочлена xa-В. Деля x2-D на x-, находим g(x)=x+. При d<x<d имеем , т.е. M=+d. В качестве c берем , при этом выгодней всего взять d так, что d2+d-1=0, т.е. d=. При таком d получаем ,