Алгебраические числа — страница 6

  • Просмотров 5724
  • Скачиваний 460
  • Размер файла 51
    Кб

представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного при b¹0) являются алгебраическими числами. Доказательство: 1)        Пусть a - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого a1, a2, … ,an, a и b - корень многочлена j(x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого b1, b2, … bm (b=b1). Рассмотрим многочлен: F(x)=ai+bi))= = (x-a1-b1) (x-a1-b2) … (x-a1-bm) (x-a2-b1)

(x-a2-b2) … (x-a2-bm) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (x-an-b1) (x-an-b2) … (x-an-bm) (2) Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин a1, a2, … ,an, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению b1, b2, … bm. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: a1, a2, … ,an и b1, b2, … bm. Согласно известным теоремам о симметрических

многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от a1, a2, … ,an и b1, b2, … bm, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и j(x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число a+b=a1+b1, являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число. 2)        Для доказательства того, что произведение двух

алгебраических чисел a и b есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен: F(x)=aibi) (3) Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней a1b1=ab. 3)        Пусть b - корень многочлена j(x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi – целые числа). Тогда -b является корнем многочлена с целыми коэффициентами. j(-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при b¹0 корень многочлена xnj(0+b1x+ … bnxn.

Таким образом, вместе с b алгебраическими числами являются -b и Разность может быть представлена в виде a+(-b), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При b¹0 частное Если степени алгебраических чисел a и b равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и j(x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и ab алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены j(x), j(-x), и xnодинаковой степени, а,

следовательно, b, -b, a-b и имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана. Пример: 1) и алгебраические числа 2-й степени, а - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если a=a2=5+4-10a2+1=0, т.е. a корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x- (4) Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей