Алгебраические числа — страница 3

  • Просмотров 5733
  • Скачиваний 460
  • Размер файла 51
    Кб

действий на множестве выделились классы числовых множеств. Рассмотрим один их классов, называемых полем. Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления. Последнее означает, что для любых a, b ÎM, должно иметь место a+b, a-b, a*b ÎM. Так же для любого aÎM и любого b¹0 из М, должно выполняться a:bÎM. Пример:

Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются: 1)    поле всех рациональных чисел; 2)    поле всех вещественных чисел; 3)    поле всех комплексных чисел. Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления. Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 2.2 Определение алгебраического

числа. Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел. Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если

оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами: anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 (a0, a1, … ,anÎZ; an¹0), т.е. выполняется: anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0 Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными. В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, … ,an-1, an были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим

кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число. К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z=(p, qÎN) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0. Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z=(p, qÎN) является корнем

уравнения: qxn-p=0. Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше. Пример: 1)         Чиcло z=является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z2=2+22-5=4-10z2+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения: x4-10x2+1=0 2)         Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа, являются