Алгебраические числа — страница 2

  • Просмотров 5732
  • Скачиваний 460
  • Размер файла 51
    Кб

алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел. I. Краткий исторический очерк. Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс

наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел. Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля

(1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел. Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел. Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты

которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм. II. Поле алгебраических чисел. 2.1 Понятие числового поля Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел

связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий. Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М. Пример: 1)        N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. "a,

bÎN => (a+b) ÎN. В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно: 5, 7 ÎN, но 5-7=-2 ÏN, 3, 2ÎN, но 3:2=1,5 ÏN 2)        Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. 3)        Множество чисел вида 2к, кÎN, замкнуто относительно умножения и деления. 2к*2l=2k+l 2к:2l=2k-l В связи с замкнутостью