Алгебраическая проблема собственных значений — страница 3

  • Просмотров 4719
  • Скачиваний 42
  • Размер файла 57
    Кб

Так как итерационные методы, в этих случаях не гарантируют получение решения, то для определения собственных значений следует пользоваться другими итерацион­ными методами. Определение наибольшего собственного значения методом итераций На рис. 1 показана блок-схема простейшего итерационного метода отыскания наибольшего собственного значения системы AХ = Х. Процедура начинается с пробного нормированного вектора X(0). Этот

вектор умножается слева на матрицу A, и результат приравнивается произведению постоянной (собственное значение) и нормированному вектору X(0).. Если вектор X(0) совпадает с вектором X(0), то счет прекращается. В противном случае новый нормированный вектор используется в качестве исходного и вся процедура повторяется. Если процесс сходится, то постоянный множитель соответствует истинному наибольшему собст­венному значению, а

нормированный вектор — соответствующему собственному вектору. Быстрота сходимости этого итерационного процесса зависит от того насколько удачно выбран начальный вектор. Если он близок к истинному собственному вектору, то итерации сходятся очень быстро. На быстроту сходимости влияет также и отношение величин двух наибольших собственных значений. Если это отношение близко к единице, то сходимость оказывается медленной.

Выбор нормированного собственного вектора X(0) Вычисление АX(n) = X(n+1) Нормирование X(n+1) и определение  Достаточно ли мала разность X(n+1) - X(n) Нет X(n+1) - X(n) Стоп Рис. 1. Блок-схема алгоритма иитерационного метода решения задач на собственные значения. Пример 1 Исследуем трехосное напряженное состояние элемента тела, представленного на рисунке 2. Матрица напряжений для него имеет вид 10 5 6 5 20 4 * 106 Н/м2 6 30*106 Па 4 30 6*106 Па 20*106 Па 5*106 Па 4*106 Па 10*106

Па Рисунок 2.Трехосное напряженное состояние элемента тела. Если исходить из того, что разрушение произойдет при максимальном напряжении, то необходимо знать величину наибольшего главного напряжения, которое соответствует наибольшему собственному значению матрицы напряжений. Для нахождения этого напряжения воспользуемся методом итерации Ниже приведена программа для ЭВМ, с помощью которой итерационная процедура

осуществляется до тех пор, пока разность между собственными значениями, вычисленными в последовательных итерациях, не станет менее 0,01%. В программе использованы две подпрограммы — GMPRD из пакета программ для научных исследований фирмы IВМ, служащая для перемножения матриц и NORML, нормирующая собственные векторы по наибольшему элементу. {**********************************************************************} Программа определения собственных значений