Алгебраическая проблема собственных значений

1. ВВЕДЕНИЕ Целый ряд инженерных задач сводится к рассмотрению систем уравнений, имеющих единственное решение лишь в том случае, если известно значение некоторого входящего в них параметра. Этот особый параметр называется характеристическим, или соб­ственным, значением системы. С задачами на собственные значе­ния инженер сталкивается в различных ситуациях. Так, для тензоров напряжений собственные значения определяют

главные нормальные напряжения, а собственными векторами задаются направления, связанные с этими значениями. При динамическом анализе механических систем собственные значения соответст­вуют собственным частотам колебаний, а собственные векторы характеризуют моды этих колебаний. При расчете конструкций собственные значения позволяют определять критические на­грузки, превышение которых приводит к потере устойчивости.

Выбор наиболее эффективного метода определения собствен­ных значений или собственных векторов для данной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Алгоритмы решения задач на собственные значения делятся на две группы. Итерационные методы очень удобны и хорошо приспособлены для определения наименьшего и наибольшего собственных значений. Методы

преобразований подобия несколько сложней, зато позволяют определить все собственные значения и собственные векторы. В данной работе будут рассмотрены наиболее распространенные методы решения задач на собственные значения. Однако сначала приведем некоторые основные сведения из теории матричного и векторного исчислений, на которых базируются методы опреде­ления собственных значений. 2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ,

НЕОБХОДИМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В общем виде задача на собственные значения формулируется следующим образом: AX = X, где A — матрица размерности n х n. Требуется найти n скаляр­ных значений  и собственные векторы X, соответствующие каждому из собственных значений. Основные определения матричного исчисления 1. Матрица A называется симметричной, если аij = аij, где i, j = 1, 2, . . ., n. Отсюда следует симметрия