Алгебра октав — страница 9

  • Просмотров 8471
  • Скачиваний 74
  • Размер файла 272
    Кб

A1+BB1+CC1 +DD1), u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k, v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k. Тогда из последних равенств следует w+ w1= 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1). 4.1 Модуль октавы Определение. Модулем октавы w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK называется Модуль октавы w обозначается |w|. Следовательно, |w| =. Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|2 = w=w. Модуль октавы обладает свойствами: 1) |w| ≥ 0 и |w| = 0w=0; 2) |w w1| = |w|*|w1|. Действительно, |w w1|2 = (w w1)() = (w w1) () = w(w1*)= w|w1|2= |w1|2 w= |w1|2|w|2, Откуда |w w1| = |w||w1| Равенство |pq| = |p| |q|

после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид: |w w1| = |w| * |w1|. (a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) () =  (aa1 - bb1 - cc1 - dd1 - AA1 -BB1 - CC1 - DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1 - c1d - A1B + B1A + C1D - CD1)2 +(ac1 + a1c - bd1 + b1d - a1c + ac1 - b1d + bd1)2 +(ad1 + a1d+ bc1 - b1c - a1d + ad1 + b1c - bc1)2 +(a1a - b1b - c1c -d1d + Aa1 + Bb1 + Cc1 + Dd1)2 + (a1b + b1a + c1d - d1c - Ab1 + Ba1 - Cd1 + Dc1)2 +(a1c + c1a - b1d+ d1b - ac1 + ca1 + bd1 - db1)2 +(a1 d+ d1a+ b1c - c1b - ad1 + da1 - bc1 + cb1)2. Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на

сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел. Если w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK - чисто мнимая октава, то w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ≤ 0, т.е. квадрат чисто мнимой октавы w/ есть неположительное действительное число. Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая.

Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK представить в виде w = а + w/, где w/ - чисто мнимая октава bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, aR, то w2 = (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2- b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 +2a w/. Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w2 = а2 не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом

этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a ,aR, w/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава= а –p /. В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что (u; v)-1 =; -. Так как (и; v) = и + ve, то тогда (и + ve)-1 = -. Если u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, это означает, что (a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1==, если w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK. Итак, октава, обратная октаве w, есть октава. Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство: (ww1)1 = w(w11). Пусть w = u+ ve, w1 = u1+

v1e, где u, u1 v, v1K, Тогда: (ww1)1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(ū1 - v1e) = ((uu1 -v)+ (v1u+ v ū1)e)(ū1 - v1e) = ((uu1 -v)ū1+(v1u+ v ū1))+(-v1(uu1 -v)+ (v1u+ v ū1)1)e = (uu1 ū1 -vū1+v1u+vū1) +(-v1uu1 +v1v + v1u u1+ vū1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w. <><С другой стороны, w(w11) = w|w1|2. Сравнивая правые части этих равенств, получаем: (ww1)1 = w(w11). Покажем также, что в алгебре октав имеет место равенство: 1(w1w) = (1w1)w). Действительно, 1(w1w) = (ū1 - v1e)((u1+ v1e)(u+ve)) = (ū1 - v1e) ((u1u -v1 )+(vu1+ v1ū)e) = (ū1(u1u--v1 ) – ()(-v1))+((vu1+ v1ū)ū1 -