Алгебра октав — страница 7

(0i –k; 00; + kī) = (0; -j) = - (0; j) = -J; jI = (j; 0)(0; i) = (j0 – ī0; ij + 0) = (0; k) = K; jJ = (j; 0)(0; j) = (j0 –0; jj + 0) = (0; -1) = -(0; 1) = - e; jK = (j; 0)(0; k) = (j0 –0; kj + 0) = (0; - i) = - (0; i) = -I; I j = (0; i)(j; 0) = (0j –i; 00 + i) = (0; -k) = -(0; k) = - K; J j = (0; j)(j; 0) = (0j –j; 00; + j) = (0; 1) = e; K j = (0; k)(j; 0) = (0j –k; 00; + k) = (0; i) = I; kI = (k; 0)(0; i) = (k0 – ī0; ik + 0) = (0; -j) = - (0; j) = -J; kJ = (k; 0)(0; j) = (k0 –0; jk + 0) = (0; i) = I; kK = (k; 0)(0; k) = (k0 –0; kk + 0) = (0; -1) = - (0; 1) = - e; I k = (0; i)(k; 0) = (0k –i; 00; + i) = (0; j) = J; J k = (0; j)(k; 0) = (0k –j; 00; + j) = (0; - i) = - (0; i) = -I; K k = (0; k)(k; 0) = (0k –k; 00; + k) = (0; 1) = e; e i = (0; 1)(i; 0) =

(0i –1; 00; + 1ī) = (0; - i) = - (0; i) = -I; e j = (0; 1)(j; 0) = (0j –1; 00; + 1) = (0; -j) = - (0; j) = -J; e k = (0; 1)(k; 0) = (0k –1; 00; + 1) = (0; -k) = - (0; k) = - K; I e = (0; i)(0; 1) = (00 –i; 10; + i) = (-i; 0) = - (i; 0) = - i; J e = (0; j) (0; 1) = (00 –j; 10; + j) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j; K e = (0; k) (0; 1) = (00 –k; 10; + k) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k; e I = (0; 1)(0; i) = (00 –ī1; i0; + 1) = (i; 0) = i; e J = (0; 1)(0; j) = (00 –1; j0; + 1) = (j; 0) = j; e K = (0; 1)(0; k) = (00 –1; k0; + 1) = (k; 0) = k; I J = (0; i)(0; j) = (00 –i; j0 + i) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k; I K = (0; i)(0; k) = (00 –i; k0 + i) = (j; 0) = j; J K = (0; j)(0; k) = (00 –j; k0 + j) = (- i; 0) = - (i; 0) = - i; J I = (0; j)(0; i) = (00 –īj; i0 + j) =

(k; 0) = k; K I = (0; k)(0; i) = (00 –īk ; i0+ k) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j; K J = (0; k)(0; j) = (00 –k ; j0 + k) = (i; 0) = i. При умножении на мнимые единицы кватернионов образуются дополнительно три несоставных мнимых единицы. Правило произведения мнимых единиц (1,i,j,k,E,I,J,K) может быть представлено таблицей 1. При пользовании этой таблицей первым сомножителем следует брать элемент, занимающий строку, а вторым сомножителем - элемент, занимающий столбец. 1 i j k E I J K 1 1 i j k E I J K i i -1 -k -j

-I E K -J j j k -1 i -J -K E I k k -j -i -1 -K J -I E E E I J K -1 -i -j -k I I -E K -J i -1 k -j J J -K -E I j -k -1 i K K J -I -E k j -i -1 Или диаграммой взаимных произведений: При получении вышеприведенной таблицы произведений мы исходили из правого закона произведения мнимых единиц кватернионов (внутренний круг диаграммы), правого закона произведения новых единиц (внешний круг диаграммы) и правого закона произведения мнимых единиц исходных кватернионов на мнимую единицу E

(радиальные линии диаграммы). Так же можно использовать определение октав с левыми правилами произведения. В дальнейшем мы будем полагать, что используются правые правила. §3.Действия над октавами Так как по доказанному пара вида (и; v), где u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk K, есть и u+ ve, или в алгебраической форме a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, то сложение двух октав осуществляется как сложение двух многочленов по правилу: p+ q= (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) +(a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K) = =

a+a1+(b+b1)i +(c+c1)j +(d+d1)k +(A+ A1)e +(B+B1)I +(C+C1) J +(D +D1) K. Умножение октав выполняется так; же, как умножение двух многочленов с учетом порядка, умножения мнимых единиц, представленного в вышеприведенной таблице. Упражнения: 1. Приведите полное представление произведения двух октав w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK иw1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K в алгебраической форме. (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK)( a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K)=a a1+ab1 i+ ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1+bib1i+bic1j+bid1k+diA1E+biB1I+biC1J+