Алгебра октав — страница 6

  • Просмотров 8470
  • Скачиваний 74
  • Размер файла 272
    Кб

(а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х KU/, откуда U/ = К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы. Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива. Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R. Тогда, и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e =

a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke). Вычислим ie = (i; 0) (0; 1) = (i0 -0; 1i + 0) = (0; i); je = (j; 0) (0; 1) = (j0 -0; 1j + 0) = (0; j); ke = (k; 0) (0; 1) = (k0 -0; 1k + 0) = (0; k), откуда следует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e. Покажем, что (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. Действительно, (ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (ii -0; 0i + 0ī) = (-1; 0) = -1; (je)2 = (j; 0) (j; 0) = (jj -0; 0j + 0ī) = (-1; 0) = -1; (ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (kk -0; 0k + 0ī) = (-1; 0) = -1. Следовательно, ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je =

J. ke = К и октаву w записать в виде w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, где a,b,c,d, a,b,c,d R. Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав. 1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав Теорема 2. Система аксиом алгебры октав категорична. Пусть (U, +, ., e) и (U1,,, e1 ) - две модели алгебры октав и e2 = -1, e21 = Ө1. Рассмотрим отображение Ф : U → U такое, что Ф (u+ve) = uve1, u,v К. Покажем, что Ф - гомоморфное отображение первой модели

на вторую модель. Пусть w1 = u1+v1e и w2 = u2+v2e. Тогда: Ф(w1+ w2) = Ф((u1+v1e) + (u2+v2e)) = Ф((u1+u2)+(v1+v2)e) = (u1+u2)(v1+v2)e1 = (u1v1e1 ) (u2v2e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1)Ф(w2); Ф(w1 w2) = Ф((u1+v1e) (u2+v2e)) = Ф((u1u2 -2v1)+(v2u1 + v1ū2)e) = (u1u2 -2v1)(v2u1 + v1 ū2)e) =(u1u2 Ө2v1)(v2u1v1ū2)e) =(u1v1e1)( u2v2e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1)Ф(w2); Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨve1 = Ө(uve1) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w); Ф(w-1)=Ф((u+ve)-1)=Ф(Өe)= (Өe) =Өe = (uve1)-1 = (Ф(u+ve)Ө1) = (Ф(w)) Ө1. Следовательно, отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры в (U1,,, e1 ). Покажем, что отображение Ф инъективно:

Ф(w1)=Ф(w2) Ф(u1+v1e) = Ф(u2+v2e) u1v1e1 = u2v2e1 u1=u2v1=v2 u1+v1e= u2+v2e w1= w2. Сюръективность отображения Ф очевидна, так как (qU1) (u,vK)p= uve1 (u+ve = wU) Ф(w) = p. Итак, отображение Ф есть изоморфизм алгебры на алгебру (U1,,,e1) и, следовательно, система аксиом алгебры октав категорична ввиду изоморфности произвольных ее моделей. §2. Дополнительные сведения об октавах В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы установили, что любую октаву

можно представить в виде: w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, где a,b,c,d, a,b,c,d R и i2 = j2 = k2 = e2=I2= j2 = k2 = -1, причем iе = I, je = J, ke = К по обозначению. Через пары эти мнимые единицы выражались следующим образом: i=(i; 0), j=(j; 0), k=(k; 0), e=(0; 1), I=(0; i), j=(0; j), k=(0; k). Вычислим другие произведения мнимых единиц: iI = (i; 0)(0; i) = (i0 – ī0; ii + 0) = (0; -1) = -(0; 1) = - e; iJ = (i; 0)(0; j) = (i0 –0; ji + 0) = (0; -k) = -(0; k) = - K; iK = (i; 0)(0; k) = (i0 –0; ki + 0) = (0; j) = J; I i = (0; i)(i; 0) = (0i –i; 00; + iī) = (0; 1) = e; J i = (0; j)(i; 0) = (0i –j; 00; + jī) = (0; k) = K; K i = (0; k)(i; 0) =