Алгебра октав — страница 5

у) (u; v) = (1; 0) (xu -y; vx + yū) = (1; 0) Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=2 откуда: x (u u-1) =y2 +2 x =2 (yū + ū). Подставим полученное значение х во второе уравнение системы: v2(yū + + ū) + yū = 0(|u|2 + |v|2) yū = - vū откуда при ū ≠ 0 следует, что у = -. и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем xu - = 1, откуда следует, что xu= 1 - =. Умножим это равенство справа на u-1=, тогда x = * = Итак, пара (x; y) =; - является и левым обратным элементом

для элемента (u; v) в. Обозначим его (u, v)-1. Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в. Из  1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется. Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели. Пусть U1 = {(u; 0)| u K}. Ясно, что U1 K x K. Покажем, что множество U1 замкнуто относительно

введенных ранее операций сложения и умножения: (u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2: 0 + 0) = (u1 + u2: 0) U1; (u1, 0) (u2, 0) = (u1 u2 –0; 0u1 + 0ū2) = (u1 u2: 0) U1. Далее: - (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U1; (u; 0)-1 = = U1, откуда следует, что есть под тело алгебры,. Покажем, что изоморфно телу кватернионов. Для этого рассмотрим отображение f : U1 → K такое, что ((u; 0) є U1) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем: f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2: 0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2; 0)); f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0)); f ((u1;

0) (u2; 0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1 u2 = f ((u1; 0)) f ((u2; 0)); f ((u; 0)-1) = f ((; 0)) =; 0 = u-1 = f ((u; 0)) -1, откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебрыв тело кватернионов. Это отображение биективно, так как f ((u1; 0)) = f ((u2; 0)) u1 = u2 (и1; 0) = (и2; 0) и f (U1) = К. Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела

кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры, то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры. Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем: (0; 1)2 = (0; 1) (0; 1) = (00 -1; 10+1) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1. С другой стороны: (0; i) ≠ (i; 0) = i; (0: 1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠ (k; 0) = k. Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома. Из проверки второй и

третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v), представим в виде u + ve, где и, v є К и е2 = -1. Действительно, (u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve. Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры, содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U/ К х К. Если мы покажем, что К х KU/, то тем самым совпадает с. Так как каждый элемент алгебрыимеет вид u+ve, где и, v К. е2 = - 1, то u + vjU/, так как и, v К U/, e U/ и- альтернативная алгебра