Алгебра октав — страница 4

((u2; v2) (u1; v1)) = (u2; v2) (u2u1 -1v2; v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1 u2 -2v1) –v2; (v1 u2 - v2 ū1) u2 + v2) = (u2u1 u2 - u21v2 –v2 - u12v2; v1u2u2 + v2 ū1 u2 + v2- v22v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + ū2)1v2; v1u2u2 + v2 ū1(u2 + ū2) - |v2|2 v1). Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем: ((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1) = (u2 u2 -2v2; v2 u2 + v2 ū2) (u1; v1) = ((u2 u2 -2v2) u1 -1(v2 u2 + v2 ū2); v1(u2 u2 -2v2) + (v2 u2 + v2 ū2) ū1) = (u2 u2 u1-2v2 u1 -1v2 u2 -1v2 ū2; v1u2 u2 - v12v2 + v2 u2 ū1 + v2) = u2 u2 u1 -1v2(u2 + ū2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1 (u2+ ū2). Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с

точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо. Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в альтернативно. 10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в решим уравнение: (u; v) (x; y) = (u; v), в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда: (u; v) (х; у) = (u; v)(хu -y; уи + v) = (и; v) Умножим обе части первого уравнения

этой системы слева на u-1=,откуда: (u-1 u) x = u-1v+ u-1ux =v=1+уи. Подставим полученное значение во второе уравнение системы: v(1+уи) + уи = vv+vуи+ уи = vуи+уи=0(+1)уи=0, откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда = 0 и из первого уравнения системы их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в. В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к

тому же решению. Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в решим уравнение: (х; у) (u; v) = (u; v), в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда: (х; у) (и; v) = (и: v) (хи -y; vх - уū) = (и; v) Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=, откуда: x(uu-1) =y+ u*u-1x = 1+2yū, Подставим полученное значение х во

второе уравнение системы: v(1+2yū) + уū= vv +2 vyū + уū= vyū+ уū= 0(+ 1)уū =0, откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в. Обозначим (1; 0) = 1U, 11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение: (u; v) (х: у) = (1; 0) (их -v; уи+ v) = (1; 0) Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=2, откуда: (u-1u) x = u-1v + u-1x =2+2v =2 +2yu. Подставим

полученное значение во второе уравнение системы: v ++ уи= 02 +2 vyu + уи= 0(|u|2 + |v|2) yu = - vu (|u|2 + |v|2) y = - v, откуда у = -. Тогда из второго уравнения системы v-u =0v- =0= x=. Итак, пара (x; y) =; - является правым обратным элементом для элемента (u; v) в. Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в решим уравнение: (х; у) (u; v) = (1; 0), в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда: (х;