Алгебра октав — страница 3

y) = (0; 0): (u+ x; v+ y) = (0; 0)u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v). Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное. 5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа. С одной стороны: ((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) (u3; v3) = ((u1 + u2) u3 -3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v2)ū3) = (u1 u3 + u2 u3 - 3v1 -3v2; v3u1+ v3u2+ v1 ū3 + v2ū3). С другой стороны: (u1; v1) (u3;

v3) + (u2; v2) (u3; v3) = (u1u3 - 3v1; v3u1 + v1ū3)+(u2 u3 - 3v2; v3u2+ v2ū3)=(u1 u3 - 3v1 + u2 u3 - 3v2; v3u1 + v1ū3 + v3u2+ v2ū3). Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, ((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3), т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения. Аналогично устанавливается равенство: (u3; v3) ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3) (u2; v2) + (u3; v3) (u1; v1). Действительно, с одной стороны: (u3; v3) ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3)v (u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 + u2); ()v3; (v1+ v2)u3+ v3())= (u3 u1

+ u3u2 -1v3 -2v3; v1 u3 + u2 u3+ v3ū1+ v3ū2); с другой стороны: (u3; v3) (u1; v1) +(u3; v3) (u2; v2) = (u3 u1 -1v3; v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 -2v3; v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1 - 1v1 + u3 u2 - 2v3; v1 u3 + v3ū1 + v2 u3 + v3ū2). Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения . 6) Покажем, что умножение в не ассоциативно. Действительно, с одной стороны: ((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 ū2) (u3; v3) = ((u1 u2 -2v1)u3 -3(v2 u1 + v1ū2); v3(u1 u2 -2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2

u3 -2v1u3 -3v2 u1 -3v1ū2; v3u1u2 - v32v1 - v2 u1 ū3 - v1ū2 ū3). С другой стороны: (u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3)) = (u1; v1) (u2u3 -3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 -3v2) –v1; v1+ (v3u2 + v2ū3) u1) = (u1u2u3 - u13v2 –v1 - u32v1; v1- v12v3 + v3u2 u1 + v2ū3 u1). Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что ((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) ≠ (u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3)) т.е. умножение в не ассоциативно. 7)Рассмотрим произведения: (u1;v1) (u2;v2) = (u1u2 -2v1 ; v2 u1 + v1 ū2); (u2;v2) (u1;v1) =(u2u1 -1v2 ; v1 u2 + v2 ū1). Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что (u1;v1) (u2;v2) ≠ (u2;v2) (u1;v1)

т.е. умножение в не коммутативно. 8)Покажем, что имеет место равенство ((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2)) Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем: ((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1 u2 -2v1; v2 u1 + v1 ū2) (u2; v2) = ((u1 u2 -2v1)u2 -2(v2 u1 + v1ū2); v2(u1 u2 -2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū2) = (u1 u2 u2 -2v1u2 -2v2 u1 -2v1ū2; v2u1u2 - v22v1 - v2 u1 ū2 - v1) = (u1 u2 u2 -2v1 (u2 + ū2) – |v2|2 u1; v2u1 (u2 + ū2) - v1- |v2|2v1) . Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем: (u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2)) = (u1; v1) (u2 u2 -2v2; v2 u2 + v2 ū2) = (u1(u2 u2 -2v2) –()v1; v1 () + (v2 u2 +

v2 ū2) u1) = (u1u2 u2 - u12v2 –v1 – u22v1; v1- v12v2 + v2 u2 u1+ v2 ū2 u1) = (u1 u2 u2 - (u2 + ū2)2v1 – u1|v2|2; (u2 + ū2) v2u1 + v1 - v1|v2|2). Здесь следует учитывать, что2v2 = v22 = |v2|2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо. 9) Покажем, что имеет место равенство (u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = ((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1). Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем: (u2; v2)