Алгебра октав — страница 2

кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом. Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа. Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции

сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения. При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения. Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не

применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как , то сопряженная ей октава будет иметь вид: . §1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность Определение. Алгеброй октав

называется алгебра, если: I. Алгебра- альтернативная линейная алгебра; II. Тело кватернионов есть подтело алгебры; III. е2 = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k; IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры, содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй. 1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше

системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = {(u,v)|uK vK}, где К - множество кватернионов. По определению, (u1;v1) = (u2;v2)u1 = u2v1 = v2. Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам: (u1;v1) + (u2;v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2); (u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 - v2v1 ; v2 u1 + v1 ū2). Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра. Сначала покажем, что (К x К, +) есть

абелева группа. 1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1 + u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1 +( u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3; v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)), т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно. 2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2) = (u2 + u1; v2 + v1) = (u2; v2) + (u1; v1), т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно. 3) Решим уравнение (u; v) + (x; y) = (u; v); (u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0). Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0U. 4) Решим уравнение (u; v) + (x;