Алгебра октав — страница 18

(теле кватернионов) оно ассоциативно, то подалгебрасовпадает со всей алгеброй. Резюмируя вышеизложенное, мы получаем, что если алгебра не изоморфна ни одной из алгебр , или, то она изоморфна алгебре октав ,что и доказывает утверждение теоремы Гурвица. §7. Обобщенная теорема Фробениуса Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй. Пусть -

альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а A пропорционален 1, то ā = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент ā, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре. Из определения ā непосредственно следует, что = а, а также=kā, где kR. Пусть

а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, .R, .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент ā. Покажем, что а совпадает с ā. Элементы а и ā, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям: а+ā = 2а* 1, где а R, (14) а* ā = d*1, где d R. (15) Элементы а и ā, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям: а+ ã = 2а1* 1, где а1 R, (14') а * ã = d1 *1, где d1 R. (15/) Вычтем из (14) и (15)

соответственно (14/) и (15'). Тогда: ā - ã = 2(a – a1)*1. а (ā - ã) = (d- d1)* 1 2(a – a1)a*1.= (d- d1)* 1. Если a(ā - ã), то a =*1, т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению. Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры. Точно так же |а|2 = аā как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной

подалгебры алгебры, так , что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры. Тогда для любых a, b А справедливы равенства: =ā+ и= ā *. (16) Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры , то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в

кватернионной подалгебре алгебры. Из= b и из второго равенства (16) вытекает, что= bā, откуда a + bā = с* 1, где с R. Определим в (A, +, .R, .) скалярное произведение (а, b) как a + bā = 2(а, b) * 1. Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения: 1) (а, а) > 0 при а ≠ 0 и (0, 0) = 0. В самом деле, (а, а) * 1 = (аā + аā) = аā = |а|* 1, а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а ≠ 0 и равен 0 при а = 0. 2)(a, b) = (b. а), так