Алгебра октав — страница 17

качестве В взять подалгебру D, то е будет любой вектор длины 1, ортогональный к 1. Из формулы (13) тогда следует, что е2 = (0 +1* е)(0 +1* е) = (0* 0 -* 1) + (1* 0 + 1*)е = -1 + 0* е = -1. Отсюда можно сделать вывод, что квадрат любого вектора a1 1 равен1, где ≤ 0. Докажем и обратное: если квадрат какого-либо элемента равен1, где ≤ 0, то этот элемент ортогонален 1. В самом деле, квадрат любого элемента, не ортогонального 1, т.е. элемента вида а = k1+a/ где k ≠ 0 и a/ 1, равен (k1+

a/)(k1 + a/) = k21 + а'2 + 2ka/ = k21 +1 + 2k a/. Если это выражение пропорционально 1, то а/ = 0, следовательно, а = kl, но квадрат k1 не может равняться1, где ≤ 0. Отсюда следует, что элементы, ортогональные 1, и только они характеризуются тем свойством, что их квадраты равны1, где ≤ 0. Тогда для произвольного элемента а А берется его единственное представление в виде а = k1+a/, где а/2 =1 и ≤ 0, а сопряженный ему элемент в виде ā = k1 - a' Теорема Гурвица. Любая

нормированная линейная алгебра, с единицей над полем действительных чисел изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплексных чисел, телу кватернионов или алгебре октав. Пусть - нормированная линейная алгебра с единицей над полем действительных чисел, а - ее подалгебра, содержащая 1, еB, где е - единичный вектор. Как мы показали ранее,является подалгеброй алгебры (A, +, .R, .). Из теорем 1 и 2 следует,

что.изоморфна удвоенной подалгебре. Рассмотрим подалгебру, изоморфную полю действительных чисел (R, +, .). Если она не совпадает со всей алгеброй,то найдется единичный вектор еD. Составим подалгебру, изоморфную удвоению, а следовательно, изоморфную полю комплексных чисел. Назовем ее комплексной подалгеброй алгебры. Из того, что сказано выше о сопряжении в алгебре , вытекает , что для элементов из D + De сопряжение совпадает с обычным

сопряжением комплексных чисел. Если, в свою очередь, подалгебра ,где С = D + De, не совпадает со всей алгеброй ,то опять-таки найдется единичный вектор е/С. Составим подалгебру изоморфную удвоению, а следовательно, и изоморфную телу кватернионов. Назовем ее кватернионной подалгеброй алгебры. Из вышесказанного о сопряжении в алгебре следует, что для элементов из С+Се/ сопряжение с впадает с обычным сопряжением в теле кватернионов.

Если, в свою очередь, подалгебра, где К = C+Ce', не совпадает со всей алгеброй, то снова найдется единичный вектор е"K. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную алгебре октав. Но эта подалгебра, где U = К + Ке// совпадает уже c самой алгеброй ,так как по теореме 3 любая подалгебра алгебры, содержащая 1 и не совпадающая со всей алгеброй , ассоциативна. А так как умножение октав не ассоциативно, а в ее подалгебре