Алгебра октав — страница 16

как u1, u2 В, то u1u2 В, а тогда u1u2 e, u1 e. Значит, (u1, u2e) = 0, (u1, e) = 0. Тогда: (u1, u2e) = 0, т.е. u1 u2e. Теорема 1. Представление любого элемента из В + Be в виде u1+ u2e, где u1, u2 В, единственно. Пусть u1 + u2e = u1/ + u2/e u1 - u1/ = (u2/ - u2)e, откуда следует, что v=u1 - u1/ принадлежит одновременно двум ортогональным подпространствам В и Be. Тогда (v, v) = 0, откуда v = 0. Следовательно, u1 - u1/ = 0 и (u2/ - u2)e = 0. Из второго равенства либо u2/ - u2 = 0, либо е = 0. Но е ≠ 0, следовательно, u2/ - u2= 0. Тогда u1 = u1/ и u2

= u2', т.е. представление элемента из В + Be в виде u1 + u2e единственно. Лемма 5. Для любых u, v А имеет место (ue)v = (u)e. (9) Воспользуемся тождеством (8) из следствия к лемме 3, положив в нем а = u, х = е, у =. Тогда: (ue)v + (u)= 2(е,)u. Так как е, то (е,) = 0 и (ue)v + (u)= 0. Но = -е, так как е1, тогда: (ue)v + (u)(- е) = 0 (ue)v = (u)e. Лемма 6. Для любых u, v A имеет место u(ve) = (vu)e. (10) Если в том же равенстве (8) положить а = 1, х = u, у = ve, то получаем: (1*u)ve + 1*()ū = 2(u,) * 1 u(ve) + ()ū = 2(u,). Так как u ve, то u, = -ve, в

силу того, что из ve В следует ve 1. Следовательно, u(ve) + (-ve)ū = 0 u(ve) = (ve)ū. Воспользовавшись равенством (9), получаем, что (ve)ū = (vu)e. Тогда: u(ve) = (vu)e. Лемма 7. Для любых u, v А имеет место (ue)(ve) = -u. (11) Прежде всего убедимся, что если формула (11) верна при v = с и при v = d, то она имеет место и при v = c + d. Действительно, если (uе)(се) = -u и (ue)(de) = -u, то ue((c + d)e) = (ue)(ce + de) = (ue)(ce) + (ue)(de) = -u -u = - ( +)u. Так как для любого v В имеет место v = k1+ v/, где v/ 1, то докажем равенство (11) по

отдельности для k1 для v/. Тогда на основании сделанного выше замечания, равенство (11) будет справедливо и для v. Итак, пусть v = k1, откуда (11) принимает вид: k(ue)e == -ku (ue)e = -u -(ue) = -(e, e)u (uе) =u, которое верно в силу равенства (5), если учесть, что= -е и (е, е) = 1. Пусть теперь vl. Тогда= -v. Полагая в том же равенстве (8) а = u, х = е, у = -ve, получаем: (ue)(ve) + (u(-ve)) = 2(е, - ve)u (ue)(ve) - (u(ve)) = -2(е, ve)u. (12) Но (е, ve) в силу тождества (3) равно (1, v)(e, e) = 0, так как по условию v1. В ситу (10)

второе слагаемое в последнем равенстве (12) равно -(u(ve)) = -((vu)e) = -vu =u (ue)(ve) = -u. Теорема 2. Для любых u1 +u2e В+Be и v1 + v2e В+Be имеет место равенство: (u1 + u2e)(v1 + v2e) = (u1v1 –2u2) + (v2u1 + u21)e. (13) (13) Воспользовавшись равенствами (9), (10) и (11), получаем: (u1 + u2e)(v1+ v2e) = u1v1 + (u2e)v1 + u1(v2e) + (u2e)(v2e) = u1v1 + (u21)e + (v2u1)e -2u2 = (u1v1 -2u2) + (v2u2 + u21)e. Теорема З. Любая подалгебра алгебры,содержащая единицу и не совпадающая со всей алгеброй ,ассоциативна, т.е. для любых u, v, w А имеет место (uv)w = u(vw).

Снова воспользуемся равенством (8), положив в нем а =ve, х =, у = ūe. Тогда ((ve))(-ue) + ((ve)(ūe))w = 2(, ūe)(ve). Так как (, ūe) = (*1, ūe) = 0 в силу того, что*1 ūe, то ((ve))(-ūe) +((ve)(ūe))w = 0. Применив равенства (9) и (10), получаем: u(vw) - (uv)w = 0, откуда (uv)w = u(vw). Замечание: Так как алгебра содержит единицу, то в ней имеется подалгебра, состоящая из элементов вида k1, где k R. Эта подалгебра изоморфна алгебре действительных чисел, обозначим ее D. Если в предыдущих рассуждениях в