Алгебра октав — страница 15

(b, b)а. (5) Докажем это равенство для случая b1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k = 0. В этом случае = - b. Рассмотрим элемент с = (ab) -а, где = (b, b). В силу свойств скалярного произведения имеем: (с, с) = ((аb)-а, (аb)-а) =((аb), (ab)) +2(a, а)- 2((ab), а). (6) Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6): ((аb), (ab)) = (ab, аb)(,) = (а, а)(b, b)(,) = (a, а)(b, b)2 =2(а, а). Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства

(6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде: (а1b1, а2Ь2) = 2(а1, a2)(b1, b2) - (a1b2, a2b1). Положив a1 = ab, b1 =, a2 = a, b2 = 1, получим: ((аb), a) = 2(ab, а)(, 1) - (ab, а). (7) Так как b1, то (, 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0. Далее: -(ab, а) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) =(а, а). Тогда: ((аb), а) =(а, а). Отсюда в равенстве (6) получаем: (с, с) =2(а, а) +2(а, а) - 22(а, а) = 0. Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab) -а = 0, откуда (аb) =а = (b, b)a. Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b/, где b/ 1. Тогда = k1 - b/ и (аb) = (а(k1+ b/))(k1- b/) = k2а - (ab/)b/ = k2а + (аb/)/. Так

как по доказанному выше: (аb/)/.= (/,/)а, то (аb) = k2a + (b/, b/)a = [k2 + (b', b')]a = (b, b)a, так как (b, b) = (k1+ b/, k1+ b/) = k2(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k2 + (b', b') в силу того, что (1, 1) = 1 и (b/ , 1) = 0, так как b/ 1. Следствие 1. В нормированной линейной алгебре с единипей имеет место равенство (ах)+(ау) = 2(х,у)а. (8) Подставим в тождество (5) вместо b сумму х + y. Тогда (а(х + у))() = (х + у, х + у)а(а(х + у))( +) = ((х, х) + (у, у) + 2(х, у))а (ах) + (ау)+ (ах) + (ау) = (х, х)а+(у, у)а + 2(х, у)а. В силу тождества (5): (ax)= (х, х)а, (ау) = (у,

у)а. Тогда: (ах) + (ау) = 2(х, у)а, что и требовалось доказать. Следствие 2. Нормированная линейная алгебра с единицей является альтернативной линейной алгеброй. Если в равенстве (5) (ab) = (b, b)a положить а = 1, то получается b = (b, b)l = (b, b). Тогда (ab) = a(b), откуда следует, что (ab)b = a(bb). Аналогично можно доказать, что b(ba) = (bb)a. Отсюда следует, что алгебра является альтернативной линейной алгеброй. п. п. 6.2 Теорема Гурвица Пусть - линейная алгебра с

единицей. Согласно Лемме 1 каждый элемент аА однозначно представляется в виде а = k1+ а', где k R и а' 1. В алгебре введем операпию сопряжения: элемент, сопряженный элементу а, есть элемент ā = k1- а' Если а = kl, то а' = 0 и ā = k1, т.е. ā = а. Если же а 1, то ā = - а. Имеют место: а) ā = а; б) () === (k+l)1-(a/ + b/) = (k1 – a/)(l1 – b/). Пусть- подалгебра алгебры,содержащая 1 и не совпадающая с .Выберем в В базис 1, i1, i2, … in, такой, что i1 1, i2 1, … in 1. Тогда любой элемент b B имеет вид: b

= bо + b1i1 + b2i2 + … + bnin , а сопряженный ему элемент b = b0 - b1i1 - b2i2 - … - bnin, откуда и В. Пусть е - единичный элемент, ортогональный В, т.е. для любого bВ имеет место eb. Рассмотрим множество В + Be = {b1 + b2e|b1, b2 В}. Покажем, чтоесть снова подалгебра алгебры. Лемма 4. Подпространства и ортогональны друг другу, т.е. для любых u1, u2 B имеет место u1u2e. Для доказательства этого факта в тождестве (1) положим вместо а1 = u1, b1 = u2, a2 = e, b2 = 1. Тогда (u1u2, e) + (u1, eu2) = 2(u1, e)(u2, 1). Так