Алгебра октав — страница 14

выполнение условий скалярного произведения: 1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и (z, z) = a2 + b2 = 0a= 0 b= 0z=0; 2) (z, u) =(zū + u) =( u+zū) =(u, z); 3) (z, ku) =(z +(ku)) =k(zū + u) =k(z, u); 4) (z, u+v) =(z +( u+v)) =(zū+z+ u+ v) =(zū+ u)+ ( z+ v) = (z+u)+(z+v). Итак, все условия скалярного произведения при (z, u) =(zū + u) выполнены для комплексных чисел z и u. Пример 2. Пусть - тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k, то по свойству 6 сопряженных кватернионов p + q = 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1). Возьмем в качестве

скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение (p + q) = aa1 + bb1 + cc1 + dd1. Итак, (p, q) =(p + q). В частности, (p, p) = (p + p)= p = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2. Проверим выполнение условий скалярного произведения: 1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2 ≥ 0 и (p, p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0a= 0 b= 0 c= 0 d= 0p=0; 2) (p, q) =(p + q) =( q+ p) = (q; p); 3) (p, kq) =(p +(kq)) =k(p + q) =k(p, q); 4) (p, q1+q2) =(p +(q1+q2)) =(p1+ p2+ q1+ q2) =(p1+ q1) + (p2+ + q2) = (p+q1)+(p+q2). Проверим равенство: (pq, pq) = (p, p)(q, q). В самом деле, (pq, pq) =((pq) * () + (pq) * ()) =((pq) * () + (pq) * ()) = (pq) * () = p(q)= |q|2 p=|p|2 + |q|2 = (a2

+ b2 + c2 + d2)* () = (p,p ) (q, q). Итак, все условия скалярного произведения при (p, q) =(p + q) выполнены для кватернионов р и q. Пример 3. Пусть - алгебра октав. Базисом в U являются 1, i, j, k, e, I, J, K. Если w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1 J+D1K, то по свойству 6) сопряженных октав w+w1=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1). Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w1 выражение (w+w1) =aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD. Итак, (w, w1) =(w+w1). В частности, (w, w) =(w+w) = w = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 +

D2 . Проверим выполнение условий скалярногопроизведения: 1) (w, w) = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ≥ 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 A = 0 b= 0 c= 0d= 0w = 0; 2) (w, w1) =(w1+w1) =(w1+w1) =(w1, w); 3) (w, kw1) =(w(1)+(kw1)) =k(w1+w1) =k(w1, w); 4) (w, w1+ w2) =(w+(w1+w2)) =( w1 + w2+ w1+ w2) =(w1 + w1) +(w2+w2) = (w, w1)+( w, w2). Проверим равенство: (ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1). Действительно, (ww1, ww1) =(( ww1)() + (ww1)()) =(( ww1)(1) + (ww1)(1)) = (ww1)(1) = w(w11) = | w1 |2* w11 = | w |2 * | w1 |2 = (a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) * () = (w, w)(w1, w1). Итак, все условия скалярного произведения

при (w, w1) =(w1+w1) для октав w и w1 выполнены. Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебреимеет место тождество: (a1b1,a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(а1, a2)(b1, b2). (1) Подставим в основное тождество () данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a1 + а2, а вместо у - элемент b. Тогда: ((a1 + а2)b, (а1 + a2)b) = (a1 + а2, а1 + а2)(b, b) (a1b + a2b, a1b + a2b) = (a1+a2, a1+a2)(b, b) (a1b + a2b, a1b) + (a1b + a2b, a2b) = (а1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b) + 2(a1, a2)(b, b) (a1b, a1b) + (a2b, a2b) + 2(а1b, a2b) = (a1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b)+2(a1, a2)(b, b).(2) Но в силу условия

(): (a1b, a1b) = (a1, a1)(b, b); (a2b, a2b) = (a2, a2)(b, b). Тогда из (2) следует (a1b,a2b) = (a1, a2)(b, b). (3) Заменим в (3) b на сумму b1 + b2: (a1(b1 + b2), a2(b1 + b2)) = (a1, a2)(b1 + b2, b1 + b2) (a1b1+a1b2, a2b1+a2b2) = (a1, а2)((b1, b1)+(b2, b2)+2(b1, b2)) (a1b1, a2b1) + (a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) + (a1b2, a2b2) = (a1, a2)(b1, b1) + (a1, a2)(b2, b2) + 2(a1, a2)(b1, b2). (4) Но в силу (З): (a1b1, a2b1) = (a1, a2)(b1, b1); (a1b2, a2b2) = (a1, a2)(b2, b2). Тогда из (4) следует (a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(a1, a2)(b1, b2), что и требовалось доказать. Лемма 3. В нормированной линейной алгебре с единицей имеет место равенство (аb) =