Алгебра октав — страница 13

алгебр с нетривиальным идемпотентом (Алберт), для альтернативных тел (Брак, Клейнфелд, Скорнаков), для коммутативных альтернативных алгебр (Жевлаков) и т. д. Наибольшее продвижение было получено Клейнфелдом, доказавшим, что всякая простая альтернативная неассоциативная алгебра, не являющаяся ниль-алгеброй характеристики 3, есть алгебра Кэли-Диксона. Окончательное описание простых альтернативных алгебр осуществилось после

появления теоремы Ширшова о локальной нильпонентности альтернативных ниль-алгебр с тождественными соотношениями. §6. Теорема Гурвица 6.1 Нормированные линейные алгебры Пусть -линейная алгебра ранга п над полем действительных чисел и х, у А. Если e1, e2, ..., еn - базис А, то: х = х1е1 + х2е2 + .... + хпеп, у = y1е1 + y2е2 + .... + yпеп. . Определение. Скалярным произведением элементов х, у А называется сумма х1у1 + х2у2 + ... + хпуп. Обозначение скалярного

произведения: (х, у) = х1у1 + х2у2 + ... + хпуп. В частности: (х, х) =++… +. Скалярное произведение элементов х, уА должно удовлетворять общим условиям скалярного произведения в линейных пространствах: 1)для любых х, у А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0; 2)для любых х, у А имеет место (х, у) = (у, х); 3)для любых х, у А и А R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у): 4)для любых х, у, z А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z). Определение. Линейная

алгебраназывается нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у А таким образом, чтобы выполнялось равенство: (ху, ху) = (х, х)(у, у) . () Если положим=|х|. то равенство () записывается в виде: |ху| = |х| |у|. Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда (0, 0) = (х, х)(у, у) (х, х)(у, у) = 0, откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0. Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры

молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему. Пусть e А, и ue, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k R, что a - kee. Тогда: a - kee (a – ke, e) = 0(a, e) – k(e, e) = 0. Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - kee. Следствие. Если - линейная алгебра с единицей 1, то для любого а А имеет место а = k1 + u, где u 1. Пример 1. Пусть (C,

+, .R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+bi и u =с+ di определим как (z, u) =(zū + u). Так как zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i, u= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i, то (z, u) =(zū + u) = ac+bd. В частности, (z, z) =(z + z) = z= |z|2 = a2+b2. Так как, zu = (ac-bd)+(ad+bc)i, то (zu, zu) =((zu)*()+( zu)())=( zu)()=|zu|2 = (ac-bd)2+( ad+bc)2= a2с2-2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 + d2) = | z |2 | u |2 = (z, z)(u, и), т.е. выполняется (zu, zu) = (z, z)(u, и). Проверим