Алгебра октав — страница 12

равно обратному произведению сопряженных: , , - в некоторых алгебрах алгебраическое сопряжение совпадает по результату с сопряжением по действительных чисел, все виды сопряжения в ней совпадают. Сопряжение по мнимой единице: . a) Алгебраическое сопряжение: ; , то есть смена знаков мнимых единиц после логарифмирования эквивалентна смене знака у мнимой единицы самого числа: . Здесь одинаково обозначены сопряжение по мнимой единице

и алгебраическое. Полагаю, пока нет совмещения сопряжений в одной формуле, разночтений возникнуть не должно. б) кватернионы. Кватернионы имеют строение: и получены некоммутативным удвоением алгебры комплексных чисел: . Мнимая единица удвоения j не коммутирует с единицей i, поэтому сопряжение по ней требует сопряжения также и по i и по k: . Алгебраическое сопряжение в кватернионах, также как в комплексных числах, просто меняет знак

у компонент при мнимых единицах: . То есть в кватернионах сопряжение по мнимой единице и алгебраическое сопряжение так же совпадают. §5 .Некоторые тождества для октав Приведем основные тождества, применимые к октавам. Тождества базируются на понятии ассоциатора, коммутатора и йорданова произведения. ()=- ассоциатор; - коммутатор; - йорданово произведение. Линеаризуя тождества, несложно получить, что &. Таким образом, ассоциатор

есть кососимметрическая функция от x, y, z. В частности:. . Алгебры, удовлетворяющие этому условию, называются эластичными. Таким образом, алгебра октав эластична. Покажем на основе эластичности тождество: , . В силу того, что для октав всегда есть действительное число, а в силу эластичности, получаем: . Таким образом, для эластичной алгебры справедливо: . Функция Клейнфелд: . Лемма1.- кососимметрическая, для любой пары равных

аргументов . В силу правой альтернативности . Во всякой алгебре справедливо тождество: . Достаточно раскрыть все ассоциаторы. Обозначив левую часть этого равенства через, получим: Поменяв местами:получим:. Используя, получим, чтопри любых одинаковых аргументах. Из этого следуют тождества: 1); 2); 3); 4). Тождества Муфанг. Правое тождество Муфанг:; Левое тождество Муфанг:; Центральное тождество Муфанг:. Вопросы о строении простых алгебр

в том или ином многообразии являются одними из главных вопросов теории колец. Мы уже знаем один пример простой неассоциативной альтернативной алгебры - это алгебра Кэли-Диксона. Оказывается, что других простых неассоциативных альтернативных алгебр не существует. Этот результат доказывался с нарастанием общности на протяжении нескольких десятков лет разными авторами: вначале для конечномерных алгебр (Цорн, Шафер), затем для